- •Методы математической физики
- •Краснопевцев Евгений Александрович
- •Ортонормированные базисы функций
- •Рейтинговая аттестация по дисциплине с экзаменом
- •Рейтинговая аттестация по дисциплине с зачетом
- •Необходимые базовые знания
- •ВекторнОе пространствО
- •Гильбертово пространство с дискретным базисом
- •Гильбертово пространство с непрерывным базисом
- •Преобразование фурье
- •Оптическое преобразование Фурье
- •Теоремы Фурье Линейность преобразования
- •Инверсия аргумента
- •Теорема о частотной полосе
- •Смещение аргумента
- •Фазовый сдвиг
- •Комплексное сопряжение
- •Теорема Парсеваля
- •Обобщенная теорема Парсеваля
- •Ортонормированность базиса и его фурье-образа
- •Интегральная теорема
- •Теорема о парах функций
- •Свертка функций
- •Теорема о свертке
- •Разложение в ряд Фурье комплексной периодической функции
- •Фурье-образ периодической функции
- •Теорема о дифференцировании
- •Разложение в ряд Фурье вещественной периодической функции
Разложение в ряд Фурье комплексной периодической функции
Для функции с периодомL используем ортонормированный базис гармонических функций с периодом L
, ,
удовлетворяющих
.
Тогда функция разлагается вряд Фурье
. (1.48)
Ищем коэффициенты Фурье .
Умножаем (1.48) на и интегрируем по периоду
,
где переставлено суммирование и интегрирование. С учетом (1.43)
находим
.
Переобозначаем , и для периодической функцииполучаемкоэффициент Фурье
. (1.49)
Фурье-образ периодической функции
Для ряда Фурье (1.48)
находим Фурье-образ (1.1)
.
Переставляем суммирование и интегрирование
.
Используем интегральное представление дельта-функции (2.24)
,
получаем Фурье-образ периодической функции
. (1.47)
Периодическая функция с периодом L имеет спектр с периодом в виде модулированной гребенчатой функции.
Теорема о дифференцировании
. (1.50)
При m-кратном дифференцировании периодической функции ее коэффициент Фурье умножается на .
Доказательство
Разложение (1.48)
дифференцируем m раз
.
Результат сравниваем с разложением (1.48)
для функции , получаем, что доказывает (1.50).
Разложение в ряд Фурье вещественной периодической функции
Вещественная функция с периодом L удовлетворяет
,
.
Ищем коэффициент Фурье (1.49)
.
Выполняем комплексное сопряжение и из условия вещественности функции получаем
,
Результат сравниваем с (1.49) и находим
.
Используем ряд Фурье (1.48)
.
С учетом получаем
, (1.53)
где учтено
,
.
Заменяем
,
где
,
.
Используем
.
Получаем разложение функции в ряд Фурье
. (1.54)
Из (1.49)
,
находим коэффициенты Фурье
,
,
. (1.54а)