Рейтинговая аттестация по дисциплине с зачетом

Группы РЭН2, РМС7, РП4

№	Вид деятельности	Число баллов
1. 2. 3. 4. 5. 6.	Активность на практических занятиях (выставляется в конце 5-ой, 10-ой и 15-ой недели) Посещаемость лекций Индивидуальное задание 1 Индивидуальное задание 2 Индивидуальное задание 3 Коллоквиум	(0–7) + (0–7) + (0–7)= 0–21 0–15 5–15 5–15 5–15 20

Всего не более 100

Необходимые базовые знания

Векторная алгебра.

Комплексные числа.

Основы математического анализа.

Основы общей физики.

Литература

1. Файлы лекций.

2. Учебное пособие для практических занятий и лекций:

Краснопевцев Е.А. Математические методы физики. 53

Ортонормированные базисы функций. Изд. НГТУ, 2008. К 782

Дополнительная литература

1. Приведена в конце учебного пособия.

2. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВУЗов.

ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ БАЗИСЫ

В ВекторнОМ пространствЕ

Базис – система координат, образованная единичными взаимно перпендикулярными векторами – ортами. Ортогональные координаты применяются во всех разделах физики и техники. В результате:

упрощается решение задачи;

результаты выражаются через проекции – числа;

решение становится наглядным.

Вектор A – направленный отрезок, обозначается жирной, прямой буквой.

– модуль, или норма вектора, число, обозначается буквой курсивом;

– орт (от греч. ορθός – прямой), единичный вектор , перпендикулярный всем остальным ортам базиса;

– проекция вектора на направление орта , число, равное скалярному произведению вектора на орт

,

где – знак тождества, является определением величины, т. е. равенством, которое выполняется при любых условиях.

Если угол , то и вектора ортогональны, то есть перпендикулярны .

Норма вектора

.

Вектор нормирован, если .

Декартова система координат введена Декартом в 1637 г.

Рене Декарт (1596–1650)

Базис в трехмерном пространстве – совокупность ортов ;

– проекции вектора на орты, ;

– составляющая вектора ;

– вектор равен векторной сумме своих составляющих.

ВекторнОе пространствО

Векторное пространство – множество векторов, для которых определено скалярное произведение.

Размерность пространства равна числу независимых ортов, через сумму которых выражается произвольный вектор этого пространства.

3-мерное пространство

Базис ортов

Произвольный трехмерный вектор разлагается по трем ортам, образующим базис:

,

, .

Ортонормированность базиса – вектора базиса взаимно перпендикулярны и нормированы

.

Символ Крόнекера

(0.1)

ввел Крóнекер в 1866 г. Выполняется свойство симметрии

,

фильтрующее свойство

.

Леопольд Крóнекер (1823–1891)

N-мерное пространство

Базис

, ,

ортонормированность

. (0.2)

Разложение вектора на составляющие

. (0.3)

Проекция вектора на орт

. (0.4)

Теорема Пифагора выражает модуль вектора через его проекции

.

Доказывается подстановкой разложения вектора (0.3) в определение модуля и использованием ортонормированности базиса (0.2).

От пространства векторов переходим к пространству функций.