Преобразование фурье

Для наблюдателя на Земле планета, от греч. πλανήτης – «блуждающая», совершает неравномерное и иногда даже возвратное движение по небу. Древнегреческий математик Аполлоний представил в III в. до н.э. сложное движение планеты в виде суммы равномерных вращений по окружностям – эпициклам.

Аполлоний Пергский – (ок. 262 – ок. 190 до н.э.)

Проекция равномерного вращения по окружности описывается гармоническими функциями – синусом, косинусом и экспонентой с мнимым показателем. Идея Аполлония через 2 тысячи лет была применена к функциям французом Фурье. Он разложил функцию по гармоническим составляющим в 1807 г. Переход от функции к набору ее гармонических проекций, или спектру, называется преобразованием Фурье.

Жан Батист Жозеф Фурье (1768–1830)

Бесконечномерный базис гармонических функций

, ; .

Орт является решением волнового уравнения Гельмгольца

и описывает плоскую волну

,

движущуюся вдоль оси x с волновым число k.

Герман Гельмгольц (1821–1894)

Базис с непрерывным спектром удовлетворяет:

условию ортонормированности

,

и условию полноты

.

Интегрирование выполнено при помощи формул, которые будут доказаны в разделе «Дельта-функция».

Преобразование Фурье функции является ее разложением по базису , спектр функции выражается подобным преобразованием

, (1.1)

. (1.2)

Использовано:

– оператор Фурье, действующий на функцию с аргументом x, находящуюся в скобках , и дающий функцию, зависящую от k;

– оператор обратного преобразования Фурье, действующий на функцию с аргументом k, находящуюся в скобках , и дающий функцию, зависящую от x;

– фурье-образ или спектр функции ;

k и x – фурье-сопряженные переменные, – безразмерная;

– ядро преобразований, не зависящее от преобразуемой функции.

Преобразования (1.1) и (1.2) существуют, если функции и квадратично интегрируемы, то есть существуют

, .

Эти величины в ряде важнейших приложений имеют смысл полной вероятности и полной энергии, соответственно.

Преобразование Фурье применяется во многих областях науки и техники. Решаемая задача, подвергнутая преобразованию Фурье, часто оказывается проще своего исходного варианта и допускает решение.

Преобразование Фурье технически реализуется, например, колебательным контуром входного каскада радиоприемника, телевизора, телефона. Выделенная полоса спектра далее усиливается. Рассмотрим примеры преобразования Фурье на основе оптических устройств.

Оптическое преобразование Фурье

Анализатор частот функции, Анализатор волновых чисел

зависящей от времени – функции, зависящей от координат

спектрометр

На призму с дисперсией падает Плоская волна падает

волна с зависимостью на транспарант с

от времени . коэффициентом пропускания .

Призма преобразует: Линза преобразует:

время → частота, координата → волновое число,

, ,

амплитуда распределена амплитуда распределена

по углам. вдоль линии в фокальной плоскости.

, ,