- •Методы математической физики
- •Краснопевцев Евгений Александрович
- •Ортонормированные базисы функций
- •Рейтинговая аттестация по дисциплине с экзаменом
- •Рейтинговая аттестация по дисциплине с зачетом
- •Необходимые базовые знания
- •ВекторнОе пространствО
- •Гильбертово пространство с дискретным базисом
- •Гильбертово пространство с непрерывным базисом
- •Преобразование фурье
- •Оптическое преобразование Фурье
- •Теоремы Фурье Линейность преобразования
- •Инверсия аргумента
- •Теорема о частотной полосе
- •Смещение аргумента
- •Фазовый сдвиг
- •Комплексное сопряжение
- •Теорема Парсеваля
- •Обобщенная теорема Парсеваля
- •Ортонормированность базиса и его фурье-образа
- •Интегральная теорема
- •Теорема о парах функций
- •Свертка функций
- •Теорема о свертке
- •Разложение в ряд Фурье комплексной периодической функции
- •Фурье-образ периодической функции
- •Теорема о дифференцировании
- •Разложение в ряд Фурье вещественной периодической функции
Свертка функций
Операция свертки двух функций является интегральным преобразованием и обозначается звездочкой, которая ставится между функциями:
. (1.22)
Равенства в (1.22) получены заменами аргумента в виде
с параметрами
, ;
, ;
, .
При замене использовано
.
Особенность форм в (1.22) – сумма аргументов у двух функций под интегралом равна x.
Свертка с постоянной
,
.
Физический смысл свертки. Рассмотрим преобразователь сигналов
f1(t') – входящий сигнал (например, ЭДС) в момент t',
f2(t) – выходящий сигнал (например, ток) в момент t.
Для линейного и стационарного преобразователя сигналов выполняются:
1) принцип суперпозиции – входящие сигналы для разных моментов времени преобразуются независимо, не влияя друг на друга, поэтому преобразование линейное;
2) принцип причинности – если входящий сигнал включается в момент t', то выходящий сигнал отсутствует при более ранних временах t < t';
3) принцип однородности – реакция преобразователя в момент t на сигнал, поступивший в момент t', не изменяется при сдвиге начала отсчета времени, поэтому реакция зависит от (t – t'). Однородность по времени выполняется для стационарного преобразователя с постоянными параметрами.
Этим принципам удовлетворяет свертка
,
где
–функция Грина – реакция преобразователя на импульсный входящий сигнал;
–функция включения;
–аппаратная функция.
Выходящий сигнал линейного стационарного преобразователя является сверткой входящего сигнала и функции Грина преобразователя.
Теорема о свертке
Фурье-образ свертки функций равен произведению их фурье-образов
. (1.24)
Доказательство
Используем (1.1) и (1.22)
.
Интегралы расцепляем заменой в первом интеграле аргумента в виде,. Учитываем
.
Получаем
.
Для обратного преобразования Фурье выполняется
. (1.25)
Доказательство
Аналогично предыдущему доказательству получаем
.
Под интегралом сделана замена .
Теорема о произведении
Фурье-образ произведения непрерывных функций равен свертке их фурье-образов
,
. (1.26)
Доказательство
Выполняем фурье-преобразование (1.25), получаем
и используем интегральную теорему (1.20)
.
Теорема о дифференцировании
При каждом дифференцировании функции ее Фурье-образ умножается на
. (1.35)
Доказательство
Формулу (1.2)
,
дифференцируем n раз
.
Сравниваем результат с (1.2)
для функции , получаем Фурье-образ.
Умножение функции на
Умножение функции на приводит к дифференцированию ее фурье-образа
,
. (1.37)
Доказательство
Дифференцируем (1.1)
,
получаем
.
Сравниваем результат с формулой (1.1),
,
записанной для функции , и получаем.
Преобразование периодическОЙ функциИ
Функция с периодом L удовлетворяет
.
Пример показан на рисунке.
Спектр периодической функции дискретный. Такая функция разлагается по ортонормированному базису гармонических функций с периодами , где В акустике составляющая с называетсяосновным тоном, составляющие с называютсяобертонами.
Базисы Фурье комплексных периодических функций
Условию периодичности
,
с периодом удовлетворяют комплексные гармонические функции
,
Доказательство
Выполняется
,
где учтено
,
,
Получаем базисы:
, , с периодом.
Замена аргумента дает базисы:
: ,, с периодомL,
: ,, с периодом,
где множитель перед экспонентой обеспечивает нормировку функции.
Базисы Фурье вещественных периодических функций
Для функций с периодом
,
Для четных функций с периодом
,
Для нечетных функций с периодом
,
Ортонормированность базисов
Дискретный базис функций , где, с периодомL ортонормирован, если
.
Докажем ортонормированность:
1) Базис ,. Вычисляем
,
где использовано:
;
, при ;
.
2) ,
, (1.43)
где сделана замена
и учтено, что интеграл по периоду функции не зависит от выбора нижнего предела.
3) ,
, (1.44)
где сделана замена
.
4) Доказать самостоятельно:
,
,
. (1.45)
5. ,
,
. (1.46)