Теоремы Фурье Линейность преобразования

. (1.5)

Линейное преобразование функции приводит к аналогичному преобразованию Фурье-образа. Результат следует из линейности операции интегрирования в (1.1)

.

Масштабное преобразование аргумента функции. Если

,

то

. (1.6)

Сжатие функции приводит к расширению фурье-образа, и наоборот. При функция сжимается вдоль оси x, при этом ее фурье-образ расширяется вдоль оси k и уменьшается его величина в a раз.

Доказательство

Записываем левую сторону (1.6) в явном виде, используя (1.1):

.

Заменяем аргумент так, чтобы интеграл вернулся к стандартному виду (1.1). Результат сравниваем с (1.1)

.

Пример: Функция Гаусса

, .

При масштабном преобразовании с происходит сжатие по x в 2 раза, что соответствует переходу от сплошной линии к пунктирной. Фурье-образ растягивается по k, амплитуда уменьшается в 2 раза.

Инверсия аргумента

Из (1.6)

при получаем

. (1.7)

Четности функции и ее фурье-образа совпадают. Если – четная функция , то и – четная функция; если – нечетная функция , то и – нечетная функция.

Теорема о частотной полосе

Флуктуации фурье-сопряженных величин связаны соотношением

, (1.8)

где дисперсия – среднее квадратичное отклонение определяется в виде

; . (1.8,а)

Уменьшение пространственной протяженности функции приводит к увеличению частотной протяженности ее образа, и наоборот, как показано на рисунке.

Для функции Гаусса

,

,

из (1.8,а) следует

, ,

выполняется

.

Следствием теоремы (1.8) применительно к дифракции рентгеновского излучения на тонком образце, содержащем множество нанокристаллов, является формула Дебая – Шеррера

,

используемая для измерения размера нанокристалла. Параллельный пучок излучение с длиной волны λ после дифракции на образце становится расходящимся в угловой интервал . Ширина дифракционной кривой обратно пропорциональна размеру нанокристалла. Чем меньше размер L нанокристалла, тем больше угловая расходимость дифрагированного пучка.

Смещение аргумента

. (1.9)

Сдвиг аргумента функции приводит к сдвигу фазы фурье-образа

Доказательство

Записываем левую сторону (1.9) в явном виде, используя (1.1):

.

Заменяем аргумент так, чтобы интеграл вернулся к стандартному виду (1.1). Результат сравниваем с (1.1):

.

Фазовый сдвиг

. (1.10)

Сдвиг фазы функции приводит к сдвигу аргумента фурье-образа

Доказательство

Из (1.1) получаем

.

Комплексное сопряжение

. (1.11)

Комплексное сопряжение функции приводит к комплексному сопряжению фурье-образа и инверсии его аргумента.

Доказательство

В (1.1)

подставляем

.

Выполняем комплексное сопряжение (1.1)

.

Сравнение интегралов дает (1.11).

Следствия (1.7) и (1.11)

,

.

1) Если – вещественная и четная, то – вещественная и четная.

Доказательство

Используем

,

.

Левые стороны равны по условию задачи, следовательно:

и фурье-образ вещественный.

Доказать самостоятельно:

2) Если – вещественная и нечетная, то – мнимая и нечетная;

3) Если – мнимая и четная, то – мнимая и четная;

4) Если – мнимая и нечетная, то – вещественная и нечетная.