- •I. Введение в анализ.
- •Предел функции в точке и на бесконечности. Геометрическая интерпретация. Теорема о единственности предела.
- •Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства
- •Теорема о связи функции с её пределом в точке
- •Алгебраические свойства пределов
- •Первый замечательный предел
- •Понятие предела последовательности. Теорема существования предела последовательности
- •Сравнение функций.
- •8. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функции. Таблица эквивалентности
- •9. Понятие непрерывной функции в точке. Свойства непрерывных в точке функций
- •Свойства Локальные
- •Глобальные
- •10.Односторонние пределы функции в точке. Точки разрыва и их классификация.
- •Односторонний предел по Гейне
- •11.Основные теоремы о непрерывных на отрезке функциях
- •11. Дифференциальное исчисление функций одной перемен-
- •Правила дифференцирования функций
- •Производная сложной, обратной, параметрически заданной функции
- •Понятие дифференциала функции и его геометрический смысл. Применение дифференциала к приближенным вычислениям
- •Основные теоремы о дифференцируемых функциях (т.Ролля, Лагранжа, Коши)
- •Производные и дифференциалы высших порядков
- •Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей. Раскрытие показательных неопределенностей
- •Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано
- •Разложение основных функций по формуле Тейлора
- •Монотонные функции. Признаки возрастания (убывания) функции на интервале
- •Понятие экстремума функции в точке. Необходимое и достаточное условия экс тремума функции в точке
- •Исследование функций на экстремум с помощью высших производных
- •Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •Выпуклость и вогнутость графика функции, точка перегиба. Необходимое и достаточное условия точки перегиба графика функции
- •Понятие асимптоты графика функции. Нахождение вертикальных и наклонных асимптот
- •Полное исследование функции и построение графика функции
- •III. Неопределенный интеграл.
- •Понятие первообразной и ее свойства. Теорема о множестве первообразных
- •30.Таблица неопределенных интегралов основных функций
- •Интегрирование по частям и заменой переменной в неопределенном интеграле
- •Интегрирование функций с квадратным трехчленом в знаменателе
- •Интегрирование рациональных дробей методом разложения на простые дроби
- •Рекуррентные формулы. Вычисление интеграла
- •Интегрирование иррациональных функций
- •Интегрирование тригонометрических функций. Универсальная подстановка. Некоторые частные случаи
- •1.4 Интегрирование тригонометрических функций.
- •37.Интегралы, содержащие квадратичную иррациональность, и их вычисление с помощью тригонометрических подстановок
- •IV. Определенный интеграл.
- •Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл, свойства
- •Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница
- •Интегрирование по частям и заменой переменной в определенном интеграле
- •Для неопределённого интеграла
- •Для определённого
- •Несобственные интегралы I и п рода. Определение, свойства, теоремы сравнения
- •Несобственные интегралы I рода
- •Геометрический смысл несобственного интеграла I рода
- •Примеры
- •Несобственные интегралы II рода
- •Геометрический смысл несобственных интегралов II рода
- •Геометрические приложения определенного интеграла:
- •43. Физические приложения определенного интеграла (работа переменной силы при прямолинейном перемещении материальной точки, давление жидкости на пластинку).
- •V. Функции многих переменных.
- •44. Функции многих переменных (фмп). Область определения, предел в точке, непрерывность
- •2. Предел функции.
- •Понятие частной производной фмп. Правила дифференцирования
- •Дифференцирование сложной функции многих переменных. Формула для производной неявно заданной функции одной переменной
- •Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •Частный и полный дифференциалы фмп. Применение дифференциала к приближенным вычислениям
- •Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных
- •Дифференциалы высших порядков
- •Формула Тейлора для функции двух переменных
- •Различные формы остаточного члена
- •Экстремумы фмп. Необходимое и достаточное условия экстремума фмп в точке
- •Постановка задач на экстремум. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой области
8. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функции. Таблица эквивалентности
Эквивалентные бесконечно малые функции.
Если , то бесконечно малые функции и называются эквивалентными, обозначают ~ . Как известно, сумма, разность и произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно малая. Отношение же двух б.м.ф. может вести себя различным образом: быть конечным числом, быть бесконечно большой функцией, бесконечно малой или вообще не стремиться ни к какому пределу.
Две б.м.ф. сравниваются между собой с помощью их отношения.
Пусть α=α(х) и ß=ß(х) есть б.м.ф. при х→хо, т. е.
и
1. Если =А 0 (АєR), то α и ß называются бесконечно малыми одного порядка.
2. Если, =0, то α називатся бесконечно малой более высокого порядка , чем ß.
3. Если =∞, то α называется бесконечно малой более низкого порядка, чем ß.
4. Если не существует, то α и ß называются несравнимыми бесконечно малыми.
Отметим, что таковы же правила сравнения б.м.ф. при х →±∞, х →х0±0.
Таблица эквивалентных бесконечно малых. Пусть - бесконечно малая при .
9. Понятие непрерывной функции в точке. Свойства непрерывных в точке функций
ε-δ определение
Пусть и .
Функция f непрерывна в точке , если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что
Функция f непрерывна на множестве E, если она непрерывна в каждой точке данного множества.
В этом случае говорят, что функция f класса C0 и пишут: или, подробнее, .
-
Из определения следует, что функция непрерывна в каждой изолированной точке своей области определения.
-
Определение непрерывности фактически повторяет определение предела функции в данной точке. Другими словами, функция f непрерывна в точке x0, предельной для множества E, если f имеет предел в точке x0, и этот предел совпадает со значением функции f(x0).
-
Функция непрерывна в точке, если её колебание в данной точке равно нулю.
Свойства Локальные
-
Функция, непрерывная в точке , является ограниченной в некоторой окрестности этой точки.
-
Если функция непрерывна в точке и (или ), то (или ) для всех , достаточно близких к .
-
Если функции и непрерывны в точке , то функции и тоже непрерывны в точке .
-
Если функции и непрерывны в точке и при этом , то функция тоже непрерывна в точке .
-
Если функция непрерывна в точке и функция непрерывна в точке , то их композиция непрерывна в точке .
Глобальные
-
Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), равномерно непрерывна на нём.
-
Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), ограничена и достигает на нём свои максимальное и минимальное значения.
-
Областью значений функции , непрерывной на отрезке , является отрезок где минимум и максимум берутся по отрезку .
-
Если функция непрерывна на отрезке и то существует точка в которой .
-
Если функция непрерывна на отрезке и число удовлетворяет неравенству или неравенству то существует точка в которой .
-
Непрерывное отображение отрезка в вещественную прямую инъективно в том и только в том случае, когда данная функция на отрезке строго монотонна.
-
Монотонная функция на отрезке непрерывна в том и только в том случае, когда область ее значений является отрезком с концами и .
-
Если функции и непрерывны на отрезке , причем и то существует точка в которой Отсюда, в частности, следует, что любое непрерывное отображение отрезка в себя имеет хотя бы одну неподвижную точку.