- •I. Введение в анализ.
- •Предел функции в точке и на бесконечности. Геометрическая интерпретация. Теорема о единственности предела.
- •Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства
- •Теорема о связи функции с её пределом в точке
- •Алгебраические свойства пределов
- •Первый замечательный предел
- •Понятие предела последовательности. Теорема существования предела последовательности
- •Сравнение функций.
- •8. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функции. Таблица эквивалентности
- •9. Понятие непрерывной функции в точке. Свойства непрерывных в точке функций
- •Свойства Локальные
- •Глобальные
- •10.Односторонние пределы функции в точке. Точки разрыва и их классификация.
- •Односторонний предел по Гейне
- •11.Основные теоремы о непрерывных на отрезке функциях
- •11. Дифференциальное исчисление функций одной перемен-
- •Правила дифференцирования функций
- •Производная сложной, обратной, параметрически заданной функции
- •Понятие дифференциала функции и его геометрический смысл. Применение дифференциала к приближенным вычислениям
- •Основные теоремы о дифференцируемых функциях (т.Ролля, Лагранжа, Коши)
- •Производные и дифференциалы высших порядков
- •Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей. Раскрытие показательных неопределенностей
- •Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано
- •Разложение основных функций по формуле Тейлора
- •Монотонные функции. Признаки возрастания (убывания) функции на интервале
- •Понятие экстремума функции в точке. Необходимое и достаточное условия экс тремума функции в точке
- •Исследование функций на экстремум с помощью высших производных
- •Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •Выпуклость и вогнутость графика функции, точка перегиба. Необходимое и достаточное условия точки перегиба графика функции
- •Понятие асимптоты графика функции. Нахождение вертикальных и наклонных асимптот
- •Полное исследование функции и построение графика функции
- •III. Неопределенный интеграл.
- •Понятие первообразной и ее свойства. Теорема о множестве первообразных
- •30.Таблица неопределенных интегралов основных функций
- •Интегрирование по частям и заменой переменной в неопределенном интеграле
- •Интегрирование функций с квадратным трехчленом в знаменателе
- •Интегрирование рациональных дробей методом разложения на простые дроби
- •Рекуррентные формулы. Вычисление интеграла
- •Интегрирование иррациональных функций
- •Интегрирование тригонометрических функций. Универсальная подстановка. Некоторые частные случаи
- •1.4 Интегрирование тригонометрических функций.
- •37.Интегралы, содержащие квадратичную иррациональность, и их вычисление с помощью тригонометрических подстановок
- •IV. Определенный интеграл.
- •Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл, свойства
- •Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница
- •Интегрирование по частям и заменой переменной в определенном интеграле
- •Для неопределённого интеграла
- •Для определённого
- •Несобственные интегралы I и п рода. Определение, свойства, теоремы сравнения
- •Несобственные интегралы I рода
- •Геометрический смысл несобственного интеграла I рода
- •Примеры
- •Несобственные интегралы II рода
- •Геометрический смысл несобственных интегралов II рода
- •Геометрические приложения определенного интеграла:
- •43. Физические приложения определенного интеграла (работа переменной силы при прямолинейном перемещении материальной точки, давление жидкости на пластинку).
- •V. Функции многих переменных.
- •44. Функции многих переменных (фмп). Область определения, предел в точке, непрерывность
- •2. Предел функции.
- •Понятие частной производной фмп. Правила дифференцирования
- •Дифференцирование сложной функции многих переменных. Формула для производной неявно заданной функции одной переменной
- •Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •Частный и полный дифференциалы фмп. Применение дифференциала к приближенным вычислениям
- •Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных
- •Дифференциалы высших порядков
- •Формула Тейлора для функции двух переменных
- •Различные формы остаточного члена
- •Экстремумы фмп. Необходимое и достаточное условия экстремума фмп в точке
- •Постановка задач на экстремум. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой области
-
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано
Теорема 6.1 (формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано) Пусть -- остаток в формуле Тейлора для функции в точке , и функция имеет непрерывную -ю производную. Тогда -- бесконечно малая величина того же или большего порядка малости, как , при . (Остаточный член , о котором известны эти сведения о порядке малости, называется остаточным членом в форме Пеано.)
Доказательство. Утверждение теоремы означает, что существует
При остаток будет иметь тот же порядок малости, что , а при -- больший порядок малости. Итак, вычислим предел:
|
|
|
|
Применим к этому пределу правило Лопиталя, повторив этот приём раз:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Последний предел мы вычислили прямой подстановкой, поскольку по предположению -- непрерывная функция. Существование предела доказывает утверждение теоремы.
Доказанная теорема утверждает, что при малых отклонениях от значения будут отклоняться от не более чем на величину -го порядка малости относительно разности , что даёт нам уверенность в том, что замена на многочлен Тейлора будет давать очень хорошее приближение, и это приближение будет улучшаться, если мы будем увеличивать значения . Однако доказанная теорема не даёт нам оценки остатка . Этот пробел устраняет следующая теорема.
Теорема 6.2 (остаток в формуле Тейлора в форме Лагранжа) Пусть при всех существует -я производная . Тогда для любого существует точка , лежащая между и (то есть при ), такая что
(Остаточный член формулы Тейлора, представленный в таком виде, называется остаточным членом в форме Лагранжа.)
Доказательство. Это доказательство не столь прямолинейное, как в предыдущей теореме. Рассмотрим вспомогательную функцию переменного , изменяющегося в рассматриваемой окрестности точки . Эта функция будет зависеть также от параметра :
Подберём такое значение параметра , равное , чтобы при функция обращалась в 0: . Фиксируем такое значение .
Тогда функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля на отрезке (или , если ): , что очевидно по определению функции ; согласно выбору параметра; дифференцируемость на и непрерывность в точках и следуют из предположенных свойств функции . По теореме Ролля существует такая точка , что
Однако нетрудно подсчитать, находя производные произведений в определении функции , что
|
|
|
|
Все слагаемые в начале правой части, включая обозначенные многоточием, взаимно уничтожаются, так что получаем
Подстановка даёт
откуда следует, что
Теперь вспомним, что значение параметра мы выбрали так, что . Подставив найденное значение в выражение для , получим:
Отсюда получаем, наконец,
что и требовалось доказать.