3.3. III закон Ньютона.

Всякое действие тел друг на друга носит характер взаимодействия: если тело M₁ действует на тело M₂ с некоторой силой f₁₂, то и тело M₂ в свою очередь действует на тело M₁ с силой f₂₁.

Как показывает опыт, силы, с которыми действуют друг на друга взаимодействующие тела, оказываются всегда равными по величине и противоположными по направлению.

Р

Рис. 3.1

ассмотрим пример:

Два тела с массами m₁ и m₂, изолированные от действия внешних сил притягиваются (или отталкиваются) друг от друга вследствие того, что, например, несут электрические заряды. Под действием сил и тела приобретают ускорения и соответственно (рис. 3.1). Величина этих ускорений оказывается обратной массам тел: . Откуда следует равенство и равенство сил f₁₂=f₂₁. Направления этих сил, очевидно, противоположны.

К этому же результату можно прийти, сопоставляя не ускорения тел, а растяжения калиброванных пружин.

Третий закон Ньютона как раз и является обобщением опытных фактов подобного рода.

Современная формулировка третьего закона Ньютона выглядит следующим образом:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Всякое действие тел друг на друга носит характер взаимодействия, силы с которыми действуют друг на друга взаимодействующие тела, равны по величине и противоположны по направлению.

Математически содержание III закона Ньютона можно записать в следующем виде:

(3.1)

Эти силы, очевидно, приложены к различным телам. Пусть под действием силы тело приобретает ускорение , а под действием силы – ускорение , тогда и, следовательно, , т.е. ускорения, полученные телами в результате их взаимодействия, обратно пропорциональны массам тел и имеют противоположные направления.

Теперь рассмотрим изолированную систему.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Изолированной системой называется система тел, которые взаимодействуют друг с другом и не взаимодействуют ни с какими иными телами.

или

Изолированной системой называется система, в которой действуют только внутренние силы, и где не учитывается влияние внешних сил.

3.4. Импульс. Закон сохранения импульса.

В механической системе, состоящей из нескольких тел, существуют как силы взаимодействия между телами системы, которые называются внутренними, так и силы взаимодействия этих тел с телами, не входящими в данную систему, которые называются внешними. Если внешние силы отсутствуют, то механическая система называется замкнутой.

Для замкнутой механической системы существует несколько физических величин, которые остаются постоянными с течением времени. Одной из таких величин является импульс тела, который является вектором и равен произведению массы тела m на вектор скорости тела v : p = mv . Для механической системы ее импульс равен векторной сумме импульсов, составляющих ее n тел:

Пользуясь выражением для импульса и учитывая постоянство массы тела, представим второй закон Ньютона в следующем виде:

(3.2)

Рассмотрим изолированную систему, состоящую из двух движущихся тел. Сталкиваясь друг с другом, тела (упругие шары) будут изменять свой импульс. Рассматривая взаимодействие тел в течение небольшого промежутка времени t и применяя к каждому телу закон изменения импульса, можно записать:

, – результирующие силы, действующие на каждое тело,

, – скорости в начале и в конце рассматриваемого промежутка времени.

Складывая равенства почленно, получим:

и – силы внутренние, тогда по III закону Ньютона =.

Тогда

.

Это означает, что сумма импульсов обеих тел системы не изменяется со временем, т.е. .

Введем величину , представляющую вектор импульса всей системы (или полный импульс системы).

Тогда для системы из “n” тел

(3.3)

или из II закона Ньютона

, (3.4)

т.к. система замкнута.

Эти равенства выражают закон сохранения импульса.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Полный вектор импульса замкнутой (или изолированной) системы тел с течением времени не изменяется.

Пусть теперь на тела A и B действуют теперь как внутренние, так и внешние силы: на тело A – и , а на тело B – и .

Тогда ,

или, что равносильно для системы из “n” тел: .

Складывая эти уравнения с учетом, что , получаем

. (3.5)

Следовательно, производная по времени от вектора импульса системы равна сумме всех внешних сил, приложенных к телам системы.

Для замкнутой системы , вследствие чего полный импульс не зависит от времени. Это утверждение представляет собой содержание закона сохранения импульса. Повторим его:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Импульс замкнутой системы тел остается постоянным.

Отметим, что импульс системы тел остается постоянным и для системы, подверженной внешним воздействиям, при условии, что внешние силы, действующие на тела системы, в сумме дают нуль. Если даже сумма внешних сил не равна нулю, но проекция этой суммы на некоторое направление есть нуль, то составляющая импульса в этом направлении будет постоянной.