§5. Гидродинамика

5.1. Линии и трубки тока.

Гидродинамика изучает движение жидкостей, однако ее законы примени- мы и к движению газов. При стационарном течении жидкости скорость ее частиц в каждой точке пространства есть величина, независимая от времени и являющаяся функцией координат. При стационарном течении траектории частиц жидкости образуют линию тока. Совокупность линий тока образует трубку тока (рис. 5.1). Будем считать жидкость несжимаемой, тогда объем жидкости, протекающей через сечения S₁ и S₂ , будет одинаков. За секунду через эти сечения пройдет объем жидкости, равный

, (5.1)

где и - скорости жидкости в сечениях S₁ и S₂, а вектора и определяются как и , где и - нормали к сечениям S₁ и S₂. Уравнение (5.1) называют уравнением неразрывности струи. Из него следует, что скорость жидкости обратно пропорциональна сечению трубки тока.

5.2. Уравнение Бернулли.

Будем рассматривать идеальную несжимаемую жидкость, в которой внутреннее трение (вязкость) отсутствует. Выделим в стационарно текущей жидкости тонкую трубку тока (рис. 5.2) с сечениями S₁ и S₂ , перпендикулярными к линиям тока. В сечении 1 за малое время t частицы сместятся на расстояние l₁ , а в сечении 2 - на расстояние l₂ . Через оба сечения за время t пройдут одинаковые малые объемы жидкости V = V₁ = V₂ и перенесут массу жидкости m=V , где  - плотность жидкости. В целом изменение механической энергии всей жидкости в трубке тока между сечениями S₁ и S₂ , произошедшее за время t , можно заменить изменением энергии объема V , произошедшим при его перемещении от сечения 1 до сечения 2 . При таком движении изменится кинетическая и потенциальная энергия этого объема, и полное изменение его энергии

, (5.2)

где v₁ и v₂ - скорости частичек жидкости в сечениях S₁ и S₂ соответственно; g - ускорение земного притяжения; h₁ и h₂ - высоты центра сечений.

В идеальной жидкости потери на трение отсутствуют, поэтому приращение энергии E должно быть равно работе, совершаемой силами давления над выделенным объемом. При отсутствии сил трения эта работа:

. (5.3)

Приравнивая правые части равенств (5.2) и (5.3) и перенося члены с одинаковыми индексами в одну часть равенства, получим

. (5.4)

Сечения трубки S₁ и S₂ были взяты произвольно, поэтому можно утверждать, что в любом сечении трубки тока справедливо выражение

. (5.5)

Уравнение (5.5) называется уравнением Бернулли. Для горизонтальной линии тока h = const , и равенство (5.4) приобретает вид

/2 + p₁ = ·/2 + p₂ , (5.6)

т.е. давление оказывается меньшим в тех точках, где скорость больше.

5.3. Силы внутреннего трения.

Реальной жидкости присуща вязкость, которая проявляется в том, что любое движение жидкости и газа самопроизвольно прекращается при отсутствии причин, вызвавших его. Рассмотрим опыт, в котором слой жидкости расположен над неподвижной поверхностью, а сверху его перемещается со скоростью , плавающая на ней пластина с поверхностью S (рис. 5.3). Опыт показывает, что для перемещения пластины с постоянной скоростью необходимо действовать на нее с силой . Так как пластина не получает ускорения, значит, действие этой силы уравновешивается другой, равной ей по величине и противоположно направленной силой, которая является силой трения . Ньютон показал, что сила трения

, (5.7)

где d - толщина слоя жидкости,  - коэффициент вязкости или коэффициент трения жидкости, знак минус учитывает различное направление векторов F_тр и v_o . Если исследовать скорость частиц жидкости в разных местах слоя, то оказывается, что она изменяется по линейному закону (рис. 5.3):

v(z) = = (v₀/d)·z.

Дифференцируя это равенство, получим dv/dz = v₀/d . С учетом этого ф

ормула (5.7) примет вид

F_тр = -(dv/dz)S , (5.8)

где  - коэффициент динамической вязкости. Величина dv/dz называется градиентом скорости. Она показывает, как быстро изменяется скорость в направлении оси z. При dv/dz = const градиент скорости численно равен изменению скорости v при изменении z на единицу. Положим численно в формуле (5.8) dv/dz = -1 и S = 1, получим  = F . Отсюда следует физический смысл : коэффициент вязкости численно равен силе, которая действует на слой жидкости единичной площади при градиенте скорости, равном единице. Единица вязкости в СИ называется паскаль-секундой (обозначается Пас). В системе СГС единицей вязкости является 1 пуаз (П), причем 1 Пас = 10П.