2.6. Криволинейное движение.

2.6.1. Ускорение при криволинейном движении (тангенциальное и нормальное ускорение).

Если траектория движения материальной точки представляет собой кривую линию, то такое движение мы будем называть криволинейным.

При таком движении изменяется как по величине, так и по направлению. Следовательно, при криволинейном движении .

Рис. 2.11

Рассмотрим движение материальной точки по криволинейной траектории (рис. 2.11). Вектор скорости движения в любой точке траектории направлен по касательной к ней. Пусть в точке M₀ скорость , а в точке М – . При этом считаем, что промежуток времени t при переходе из точки М₀ в точку М настолько мал, что изменением ускорения по величине и направлению можно пренебречь.

В

Рис. 2.12

ектор изменения скорости . (В данном случае разность 2^х векторов и будет равна ). Разложим вектор , который характеризует изменение скорости как по величине, так и по направлению на две составляющие и . Составляющая , которая является касательной к траектории в точке М₀,характеризует изменение скорости по величине за время t, в течение которого была пройдена дуга М₀М и называется тангенциальной составляющей вектора изменения скорости (). Вектор , направленный в пределе, когда t  0, по радиусу к центру, характеризует изменение скорости по направлению и называется нормальной составляющей вектора изменения скорости ().

Таким образом, вектор изменения скорости равен сумме двух векторов .

Тогда можно записать, что

.

При бесконечном уменьшении t0 угол  при вершине M₀АС будет стремиться к нулю. Тогда вектором можно пренебречь по сравнению с вектором , а вектор

будет выражать тангенциальное ускорение и характеризовать быстроту изменения скорости движения по величине. Следовательно, тангенциальное ускорение численно равно производной от модуля скорости по времени и направлено по касательной к траектории.

Вычислим теперь вектор , называемый нормальным ускорением. При достаточно малом t участок криволинейной траектории можно считать частью окружности. В этом случае радиусы кривизны M₀O и MO будут равны между собой и равны радиусу окружности R.

Повторим рисунок. М₀ОМ = МСD, как углы со взаимно перпендикулярными сторонами (рис. 2. 12). При малом t можно считать |v₀|=|v|, поэтому М₀ОМ = МDC подобны как равнобедренные треугольники с одинаковыми углами при вершине.

Поэтому из рис. 2.11 следует

,

но S = v_ср.t, тогда .

Переходя к пределу при t  0 и учитывая, что при этом v_ср. = v находим

, т.е. (2.5)

Т

Рис. 2.13

.к. при t  0 угол   0, то направление этого ускорения совпадает с направлением радиуса R кривизны или с направлением нормали к скорости , т.е. вектор . Поэтому это ускорение часто называют центростремительным. Оно характеризует быстроту изменения скорости движения по направлению.

Полное ускорение определяется векторной суммой тангенциального и нормального ускорений (рис. 2.13). Т.к. вектора этих ускорений взаимно перпендикулярны , то модуль полного ускорения равен ; Направление полного ускорения определяется углом  между векторами и :

2.7. Кинематика вращательного движения.

2.7.1. Угловая скорость.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Вращательным движением будем называть такое движение, при котором все точки абсолютно твердого тела описывают окружности, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения.

В

Рис. 2.14

качестве координаты, определяющей положение точки при вращательном движении, берут угол, характеризующий мгновенное положение радиус-вектора, проведенного из центра вращения к рассматриваемой точке (рис. 2.14)

Для характеристики вращательного движения вводится понятие угловой скорости

.

Вектор направлен вдоль оси, вокруг которой вращается тело в сторону, определяемую правилом правого винта (рис. 2.15).

Модуль вектора угловой скорости равен . Если = const, то такое движение называется равномерным, при этом , следовательно и при t₀ = 0 получаем .

Если ₀ = 0, то  = ·t или .

Таким образом, при равномерном движении  показывает на какой угол поворачивается тело за единицу времени. Размерность угловой скорости []=рад/сек.

Равномерное вращение можно характеризовать периодом вращения T, под которым понимают время, за которое тело делает один полный оборот, т.е. поворачивается на угол 2. В этом случае , следовательно .

Ч

Рис. 2.15

астота вращения (число оборотов в единицу времени): =1/T=/2. Отсюда =2.

Дополнение 1.

Поворот тела на некоторый малый угол d можно задать в виде отрезка, длина которого равна d, а направление совпадает с осью, вокруг которой совершен поворот. Таким образом, повороту тела можно приписать некоторое численное значение и направление. При этом направление вектора можно определить, связав его с направлением вращения тела. Такие вектора называются аксиальными или псевдовекторами, в отличие от истинных или полярных векторов, для которых направление определяется естественным образом (, , и т. д.), при операции инверсии системы координат(x → -x’, y → -y’, z → -z’) последние меняют знак на противоположный: .