Математическое введение Углы

Плоский угол  – часть плоскости, ограниченная двумя полупрямыми, исходящими из одной точки (рис. 1). В частности, центральный угол образован двумя радиусами окружности. Единицей плоского угла является радиан [рад]. Один радиан – центральный угол, длина дуги которого равна радиусу.

Для того чтобы выразить в радианах какой-либо угол (рис. 2), надо сосчитать, сколько раз в нем содержится единичный угол; иначе говоря, сколько раз на дуге l укладывается радиус r. Таким образом, радианная мера угла

(1)

Двугранный угол – часть пространства, ограниченная двумя пересекающимися полуплоскостями (рис. 3); линия их пересечения – ребро. Мерой двугранного угла является плоский угол , стороны которого перпендикулярны ребру и расположены в разных плоскостях данного двугранного угла.

Пространственный или телесный угол ω – часть пространства, ограниченная конической поверхностью (рис. 4).

Единица пространственного (телесного) угла – стерадиан [ср].

Один стерадиан – телесный угол с вершиной в центре сферы, вырезающей на ее поверхности площадь, равную площади квадрата со стороной, равной радиусу этой сферы.

Для измерения телесного угла надо сосчитать, сколько раз на поверхности части сферы, вырезаемой конической поверхностью, укладывается площадка, равная квадрату радиуса. Значит

(2)

Скаляры и векторы

Физические величины могут быть скалярными и векторными.

Скалярными¹ величинами или скалярами называют величины, характеризующиеся числовым значением и знáком. Скалярами являются температура, время, энергия и т.п. Читатель владеет, конечно, алгебраическими действиями со скалярами: сложением, вычитанием, умножением, возведением в степень, извлечением корня и логарифмированием.

Вектором² называется величина, характеризующаяся числовым значением и направлением. Изображается вектор стрелкой, длина которой в определенном масштабе изображает модуль³ (абсолютное значение) вектора. Модуль вектора неотрицателен .

Направление некоторой прямой часто задается ее единичным вектором , модуль которого равен единице (е=1). Вектор , параллельный такой прямой, можно записать в виде . Задать вектор – это значит задать его направление, модуль и точку приложения.

Пусть имеется произвольная ось, направление которой определено ее единичным вектором . Проекция вектора на эту ось равна произведению модуля этого вектора на косинус угла между данным вектором и единичным вектором оси: .

Проекция вектора – величина алгебраическая, ее знак определяется знаком косинуса угла между данным вектором и положительным направлением оси. Если угол между векторами и острый – проекция положительна, если тупой – отрицательна, а если прямой – равна нулю.

В векторной алгебре рассматриваются различные действия над векторами. Коротко сформулируем некоторые действия векторной алгебры, которые мы будем использовать в дальнейшем.

Пусть и слагаемые или составляющие векторы (рис. 5, а). Векторной суммой называют вектор , изображаемый диагональю параллелограмма, построенного на составляющих (правило параллелограмма):

Тот же самый вектор проще получить по правилу треугольника: если из конца вектора отложить вектор , то замыкающий вектор (соединяющий начало вектора и конец вектора , см. рис. 5, б) будет векторной суммой . Длина этого вектора может быть найдена по теореме косинусов:

(3)

Сложение векторов – нахождение векторной суммы по данным составляющим вектора. Противоположное действие – разложение вектора – нахождение составляющих заданного вектора (рис. 5, в). Как видно из рисунка, даже разложение на два составляющих вектора неоднозначно, существует бесконечно много возможностей такого разложения. Кроме того, каждый составляющий вектор можно разложить еще на два или несколько векторов и т.д.

Вычитание векторов – это сложение, при котором к первому вектору прибавляется вектор, противоположный второму:

Скалярное произведение двух векторов – число (скаляр), равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними (рис. 6):

(4)

Легко видеть, что скалярное произведение равно произведению модуля одного из векторов и проекции второго вектора на направление первого:

Из определения видно, что скалярное произведение коммутативно, т.е. порядок сомножителей в нем несущественен:

Так же видно, что скалярное произведение – алгебраическая величина. Ее знак зависит от угла между векторами-сомножителями. Если угол острый, скалярное произведение положительно, если тупой – отрицательно.

Векторное произведение двух векторов – вектор , численно равный произведению модулей этих векторов на синус угла между ними, направленный перпендикулярно плоскости, в котором расположены векторы-сомножители, по правилу правого винта (см. 1.1.7). Вектор направлен в сторону осевого движения винта, головка которого поворачивается от первого сомножителя ко второму по наименьшему углу (рис. 7)

Векторное произведение записывают в виде

(5)

где . Заметим, что и, следовательно, векторное произведение численно равно площади параллелограмма, построенного на векторах-сомножителях.

Из определения векторного произведения видно, что оно антикоммутативно:

Следовательно, в векторном произведении существен порядок сомножителей.

Произведение вектора на скаляр х – это вектор , направленный вдоль заданного и по модулю равный произведению сомножителей:

,

где , а направление векторов и совпадает при и противоположны при (в этом случае ).