3. Закон сохранения и превращения энергии

Рассмотрим систему, состоящую из n тел (материальных точек). Она обладает кинетической и потенциальной энергиями, сумму которых называют полной энергией:

.

Изменяются энергии в процессе совершения работы. Среди сил, действующих на тела системы, мы различали внутренние и внешние, консервативные и неконсервативные.

Изменение кинетической энергии системы равно суммарной работе всех сил, действующих на ее тела, - внешних и внутренних, консервативных и неконсервативных:

.

Изменение потенциальной энергии системы равно взятой с обратным знаком работе внутренних консервативных сил:

.

Сложим почленно последние два уравнения:

,

где суммарная работа всех внешних (консервативных и неконсервативных) и внутренних неконсервативных сил. Иначе или

.

Мы получили важный вывод: в произвольной системе тел изменение полной энергии равно работе всех внешних и внутренних неконсервативных сил.

Ограничим круг рассматриваемых систем. Мы называли изолированной системой тел – систему, на тела которой не действуют внешние силы. Назовем консервативной – систему, в которой действуют только консервативные силы. Для изолированной консервативной системы: и, следовательно

=const.

Это закон сохранения энергии в механике:

полная энергия изолированной консервативной системы – величина постоянная.

Общая формулировка закона сохранения и превращения энергии:

энергия не создается и не исчезает, а лишь передается от одного тела к другому или превращается из одной формы в другую в равных количествах.

4. Мощность

Средней мощностью называется физическая величина, определяемая отношением работы , совершаемой силой или системой сил в течение конечного промежутка времени , к этому промежутку времени:

.

Мощностью (мгновенной мощностью) Р называется физическая величина, определяемая выражением

.

Если материальная точка или тело перемещается со скоростью , то

,

где угол между векторами и .

6. Элементы гидроаэромеханики

Гидроаэромеханикой называется раздел физики, в котором изучаются законы равновесия и движения жидкостей и газов, а также взаимодействие жидкостей и газов с твердыми телами. Конкретное строение жидкости или газа в гидроаэромеханике не учитывается, они рассматриваются как сплошные среды, непрерывно распределенные в пространстве.

1. Закон Паскаля

В гидростатике¹⁷ изучаются условия равновесия практически несжимаемой жидкости, данная масса которой имеет определенный объем, но не имеет своей формы и принимает форму сосуда, в который налита. В аэростатике¹⁸ изучаются условия равновесия газа.

Одной из важнейших характеристик таких тел является давление, которое определяется отношением силы, действующей равномерно по нормали на некоторую поверхность, к площади этой поверхности. По определению, эта величина – скаляр.

Пусть на поверхность dS действует по нормали сила давления dF. Тогда давление равно

p=dF/dS, (1.5)

откуда dF=p dS. Сила давления, действующая по нормали на конечную поверхность, равна . В случае равномерного распределения давления по такой поверхности , откуда давление равно p=F/S. По этой же формуле определяется среднее давление. В СИ давление выражается в паскалях (Па).

При соприкосновении жидкости и твердого тела на него действуют силы, перпендикулярные поверхности (иначе равновесие нарушилось бы; вообще в жидкостях нет сил, препятствующих сдвигу, следовательно, нет тангенциальных сил – касательных к поверхности, поэтому нет трения покоя).

Допустим, что на жидкость действуют только поверхностные¹⁹ силы. Практически это осуществимо, если жидкость находится в невесомости или под большим давлением, так что по сравнению с силой давления можно пренебречь весом жидкости (рис. 1.25). Выделим мысленно какой-то объем жидкости. Он находится в равновесии, а это возможно только при выполнении условий (1.2). Силы, действующие на боковую поверхность, перпендикулярны оси цилиндра. Следовательно, вдоль его оси действуют только силы и , которые должны уравновешиваться: , или .

Отсюда и .

Таким образом, давление во всех точках одинаковы, если на жидкость действуют только поверхностные силы.

Если, например, сила (рис. 1.25) производит на жидкость внешнее воздействие, то давления р₁ и р₂ будут изменяться в зависимости от этой силы, но их равенство сохранится. Вообще,

жидкость (или газ) передает производимое на нее поверхностными силами внешнее давление по всем направлениям без изменения.

Это утверждение носит название закона Паскаля.

Рассмотрим равновесие однородной жидкости в поле сил тяжести. Мысленно снова выделим узкий цилиндрический объем 1, расположенный горизонтально (рис. 1.26). Силы, действующие по горизонтали, должны уравновешиваться (равновесие): F₁=F₂. Отсюда и для любых двух точек, находящихся на одной горизонтальной поверхности. Условие равновесия вертикального цилиндра 2 (рис. 1.26) запишется несколько иначе . Значит,

,

где сила тяжести, плотность и объем выделенной жидкости.

Получаем

Таким образом, разность давлений для любых достаточно близких точек, находящихся на одной вертикали:

Рассмотрим поверхность в виде сферы исчезающе малого радиуса r, находящуюся на глубине h (рис. 1.26; говорить о глубине можно только при условии r<<h). Жидкость, заключенная в этой сфере, находится в состоянии равновесия. Это значит, что силы, действующие по направлению любого диаметра, уравновешиваются, что возможно только при равенстве давлений. Строго говоря, давления на нижней полусфере больше давлений на верхней полусфере, но в пределе, когда , разность давлений тоже стремится к нулю. Следовательно, давления в одной точке одинаковы независимо от направления. Иными словами, давление, производимое на заданной глубине на площадку, не зависит от ориентации площадки (конечно, это справедливо и для давления поверхностных сил, передающегося по закону Паскаля).

Если рассмотреть любые две точки в жидкости, то их можно соединить одним или несколькими цилиндрами, расположенными горизонтально и вертикально. Для вертикальных цилиндров справедлива последняя формула, а давления на основаниях горизонтальных цилиндров одинаковы. Следовательно, разность давлений любых двух точек в глубине жидкости

(1.6)

В случае однородной жидкости (и малой разности глубин, чтобы g можно было считать неизменным)

Представим себе столб жидкости с единичным сечением S и заданной высотой . Его вес равен . Значит, для любых двух точек в жидкости разность давлений численно равна весу столба жидкости с единичной площадью поперечного сечения и высотой, равной разности глубин этих точек. Давление в жидкости, обусловленное ее весом, называется гидростатическим. Естественно, на поверхности оно равно нулю (положим на рис. 1.26 h₃=0, тогда F₃=0); следовательно, на глубине h (если ρ и g постоянны)

p=ρgh.

26. Эбонитовая банка с водой служит мишенью для выстрелов из малокалиберной винтовки. Выстрел выше уровня воды оставляет на банке два отверстия от пули – входное и выходное. К чему приведет выстрел ниже уровня воды?

Из закона Паскаля вытекает закон сообщающихся сосудов:

однородная жидкость устанавливается в сообщающихся сосудах так, что давления во всех точках, расположенных в одной горизонтальной плоскости, одинаковы p_i=p_j ,

где i и j – номера любых сообщающихся сосудов.

Иными словами, однородная жидкость устанавливается в сообщающихся сосудах так же, как в одном; поверхность равных давлений горизонтальна.

27. Попробуйте доказать вышеперечисленные утверждения.