2. Закон Архимеда

На тело, погруженное в жидкость (или газ), действует выталкивающая сила, существование которой открыл греческий ученый Архимед. Объяснить существование этой силы можно следующим образом: выделим в жидкости некоторый объем (рис. 1.27а). Эта жидкость покоится, значит, сумма сил давления, приложенных к выбранному объему со стороны окружающих слоев жидкости, равна и противоположна весу жидкости в данном объеме. Эта сумма сил давления и представляет собой архимедову силу.

Мысленно удалим жидкость из рассматриваемого объема и вместо нее поместим твердое тело такой же формы (рис.1.27б).

Силы, действующие со стороны окружающих слоев, не изменятся, и их равнодействующая будет теперь действовать на тело. Она равна весу вытесненной жидкости, направлена вверх и приложена к центру масс вытесненной телом жидкости – центру давления D. Итак, по закону Архимеда,

на тело, погруженное в жидкость (или газ), действует выталкивающая сила, равная весу вытесненной телом жидкости (газа) и приложенная к центру давления:

28. Подумайте, как можно из простых энергетических соображений вывести закон Архимеда?

На тело, погруженное в жидкость, действует сила тяжести Р и архимедова сила. Их направления, вообще говоря, не совпадают. Но так как в жидкости нет трения покоя, моменты этих сил заставят тело повернуться так, что обе указанные силы будут расположены вдоль одной вертикали. Их равнодействующая численно равна F_Арх– Р и называется подъемной силой (аналогичная сила действует и в газе).

29. В сосуде с водой плавает кусок льда. Что будет с уровнем воды в сосуде после того, как лед растает?

3. Давление в движущейся среде

Перейдем теперь к рассмотрению механических свойств движущейся жидкости (или газа). Если подкрасить движущуюся жидкость, струйки краски покажут траектории частиц жидкости – линии тока. Течение, в котором линии тока неподвижны, называется стационарным (ламинарным). Течение, в котором положение линий тока изменяется со временем, называется вихревым (турбулентным).

Измерение давления в движущейся жидкости (или газе) сопряжено с искажениями течения и, следовательно, с ошибками. Манометр, движущийся вместе с жидкостью (неподвижный относительно ее частиц), показывает статическое давление. Покоящийся манометр, мембрана которого перпендикулярна скорости течения (частицы жидкости «набегают» на нее), измеряет полное давление. Практически трудно осуществить движение манометра, поэтому его делают неподвижным, но сводят к минимуму эффекты, связанные с остановкой частиц движущейся жидкости. Таким образом, с определенной степенью точности удается экспериментально оценить распределение давления в трубе, по которой течет жидкость или газ.

Е сли по трубе равномерно протекает жидкость, то любой ее объем находится в условиях равновесия. В частности, разность сил давления, действующих на выделенный объем (рис. 1.28), равна сумме сил трения. Для этого давление р₁ должно превышать давление р₂. При увеличении скорости течения увеличиваются силы вязкого трения, следовательно, возрастает разность давлений.

В достаточно широкой и короткой трубе одинаковых сечений при малой скорости течения силы трения пренебрежимо малы, и статическое давление можно считать одинаковым во всех точках. Но в трубе переменных сечений (рис. 1.29) опыт обнаруживает различие статических давлений. . Это можно объяснить, если вспомнить, что жидкость практически несжимаема. За какой-то промежуток времени Δt через каждое сечение пройдут одинаковые массы жидкости, имеющие равные объемы (это верно и для сжимаемых газов, если течение установилось, т.е. нет накопления масс газа в каких-то точках, и не «вдувается» газ в трубу сбоку):

.

Это уравнение неразрывности для установившегося течения. Из него следует, что скорости потока обратно пропорциональны его сечениям:

и т.д.

Но если есть изменение скорости при переходе от одной части трубы к другой, то должно быть у частиц ускорение. Ускорение должно быть вызвано силой, которая может появиться только вследствие разности давлений.

Система линий тока, пересекающая какую-либо поверхность, образует трубку тока (выбранная поверхность – одно из сечений данной трубки тока). В стационарном течении нет перехода частиц жидкости из одной трубки в другую, и уравнение неразрывности справедливо не только для всей трубы, но и для любых двух сечений произвольной трубки тока.

Рассмотрим горизонтальный отрезок некоторой трубки тока при стационарном течении идеальной несжимаемой жидкости. Идеальной назовем жидкость, в которой отсутствуют силы трения. Между сечениями S₁ и S₂ этой трубки (рис. 1.30) содержится масса m жидкости.

Некоторая часть этой массы Δm, проходя через сечение S₁ трубки за промежуток времени Δt со скоростью v₁, имеет кинетическую энергию . Такая же масса Δm, проходя за то же время через сечение трубки S₂ со скоростью v₂, имеет кинетическую энергию . Изменение кинетической энергии массы жидкости m равно разности кинетических энергий Т₂ и Т₁, потому что кинетические энергии частиц из заштрихованного объема не изменились (некоторые частицы из этого объема ушли в объем 2, другие пришли из объема 1, но ни масса в заштрихованном объеме, ни скорости частиц в каждой его точке не изменились – стационарное течение). Изменение потенциальной энергии несжимаемой жидкости в горизонтальной трубке тока равно нулю. А полная энергия массы m жидкости могла измениться только в результате действия внешних по отношению к выбранному объекту сил давления (трения нет).

Изменение полной или в данном случае кинетической энергии за промежуток времени Δt равно суммарной работе сил давления с двух сторон выбранного объема:

или

Используя определение плотности, получаем

Но из уравнения неразрывности следует, что объемы 1 и 2 жидкости, протекшей через разные сечения трубки за одинаковые промежутки времени, равны: . Тогда

или

– величина, одинаковая для любых сечений S₁ и S₂, находящихся на одной высоте в произвольной трубке несжимаемой жидкости.

Мы получили уравнение Бернулли для несжимаемой жидкости. Там, где скорость течения возрастает (в местах сужения), давление должно уменьшаться.

Значит, (см. рис. 1.30), что подтверждается опытом.

Закон Бернулли:

давление в движущейся жидкости тем меньше, чем больше ее скорость течения.

30. Как с помощью закона Бернулли можно объяснить, почему легкий шарик удерживается в струе фонтана?

При движении тела в реальной жидкости или газе возникают силы сопротивления. Даже при малых скоростях, когда обтекание тела можно считать стационарным, сопротивление создается благодаря силам внутреннего трения, возникающим между соприкасающимися слоями жидкости или газа и препятствующими их относительному движению.

При движении тела с большими скоростями в жидкости или газе возникают вихри (рис.1.31) – нестационарные местные круговые движения частиц. Так как частицы не успевают «расступиться», то перед быстро движущимся телом создается уплотнение, а за ним – зона вихрей, где велика скорость движения частиц и, по закону Бернулли, малое давление. Возникает разность давлений, тормозящая движение. Вот почему при увеличении скорости сопротивление возрастает нелинейно. Оно зависит от свойств среды, поперечных размеров тела и в сильнейшей степени скорости движения и формы тела.

Возьмем тела с одинаковыми сечениями и экспериментально исследуем зависимость силы сопротивления от формы тела. Естественно, что, скругляя переднюю часть, мы уменьшаем лобовое сопротивление. Но еще сильнее оно уменьшается при округлении и вытягивании части тела, за которой образуются вихри; при этом уменьшается мощность вихрей и, следовательно, разность давлений. На рисунке 1.32 показаны для сравнения силы сопротивления в подобном опыте. Современная обтекаемая форма уменьшает сопротивление при прочих равных условиях больше чем в два десятка раз.

По мере роста скорости тела увеличивается плотность среды перед ним; это уплотнение препятствует движению со скоростью звука; говорят, чтобы получить бóльшие скорости, надо преодолеть звуковой барьер.

В момент прохождения звукового барьера образуется характерная ударная волна, появление которой связано с резким возрастанием сопротивления. Вот почему для движения при сверхзвуковых скоростях переднюю часть тела делают заостренной – так легче пробить звуковое уплотнение, хотя это и ухудшает обтекание при дозвуковых скоростях.