2. Механическая энергия

Энергией¹³ называется скалярная физическая величина, являющаяся единой мерой различных форм движения материи и мерой перехода движения материи из одних форм в другие. Для характеристики различных форм движения материи вводятся соответствующие виды энергии, например: механическая, внутренняя, энергия электростатических, внутриядерных взаимодействий и др.

Изменить энергию системы можно в процессе совершения работы¹⁴. Подчеркнем, что работа – это процесс. Ни до, ни после него у системы нет «работы», ее нельзя накопить, это не «запас». До совершения работы у системы была определенная энергия, после совершения работы у системы остается какая-то другая энергия.

Теперь можно дать новое определение работы: работа – это процесс, в котором под действием сил изменяется энергия системы, и одновременно количественная мера этого изменения. Мы можем изменить энергию, заставив систему совершить определенную работу.

Механическая энергия характеризует движение и взаимодействие тел и является функцией скоростей и взаимного расположения тел. Она равна сумме кинетической и потенциальной энергий.

Кинетическая энергия – это энергия, которой система тел обладает благодаря их движению. Если все тела системы покоятся, ее кинетическая энергия равна нулю. Значит, кинетическая энергия системы зависит от скоростей ее тел. Скорости тел зависят от выбора системы отсчета.

В разных системах отсчета скорости одного и того же тела в данный момент времени могут быть различными. Если, например, тело движется относительно вагона поезда, который идет по железной дороге, то скорости тела относительно Земли и вагона будут разными. Отличаться поэтому будут и кинетические энергии тела относительно Земли и вагона. Следовательно, кинетическая энергия – величина относительная. Говоря о кинетической энергии, необходимо предварительно выбрать систему отсчета.

Кинетическая энергия системы тел представляет собой сумму кинетических энергий всех тел этой системы:

.

Изменение кинетической энергии системы складывается из изменений кинетической энергии ее тел:

.

Изменение кинетической энергии тела складывается из изменений кинетических энергий его материальных точек.

Рассмотрим изменение кинетической энергии одной материальной точки массой т. пусть в какой-нибудь момент времени она движется со скоростью и испытывает действие сил, равнодействующая которых . Элементарная работа всех сил, действующих на выбранную точку, равна

Вынося массу т за знак дифференциала, мы считаем ее постоянной, что справедливо в классической механике, т.е. при скоростях, гораздо меньших скорости света .

Отметим, что сила, перпендикулярная скорости (и перемещению), не совершает работы и не изменяет модуля скорости. Отличную от нуля работу совершает лишь тангенциальная составляющая силы, она изменяет модуль скорости.

Конечная работа всех сил, действующих на данную точку:

.

Эта работа является мерой изменения кинетической энергии . Следовательно, в начале выбранного промежутка времени кинетическая энергия , а в конце – . Приходим к выводу, что материальная точка, массой т, движущаяся со скоростью , обладает кинетической энергией

.

Кинетическая энергия всей системы равна сумме кинетических энергий ее материальных точек:

,

где масса;

скорость i-й материальной точки;

n – число материальных точек, на которые разбиты все тела данной системы.

По этой же формуле можно рассчитать кинетическую энергию поступательного движения абсолютно твердого тела массой т, движущегося со скоростью (так как все его материальных точек движутся в данный момент времени с одинаковыми скоростями):

.

Кинетическая энергия вращающегося тела может быть найдена по формуле

.

Изменение кинетической энергии материальной точки

равно работе всех сил, действующих на эту точку: . Это справедливо и для тела, движущегося поступательно. Конечно, величины, входящие в это уравнение, имеют алгебраический смысл: положительная работа приводит к увеличению кинетической энергии тела ; отрицательная работа приводит к уменьшению кинетической энергии . Положительная работа связана с положительным ускорением, т.е. с увеличением скорости и тем самым кинетической энергии.

Значит, работа силы, вызывающей ускоренное движение тела, приводит к увеличению его кинетической энергии.

Если проекция действующей силы на направление скорости равна нулю (равномерное движение), то ее работа и изменение кинетической энергии равны нулю, кинетическая энергия тела не изменяется. В частности, неизменна кинетическая энергия равномерно движущейся по окружности материальной точки, равномерно вращающегося тела.

Уравнение такого вида можно написать для каждой материальной точки системы. Сложив почленно эти уравнения, получим

.

Обозначим суммарную работу всех сил, действующих на все тела системы, . Тогда

.

Изменение кинетической энергии системы тел равно суммарной работе всевозможных сил, действующих на все тела этой системы.

Это утверждение носит название теоремы о кинетической энергии.

Потенциальная¹⁵ энергия – это энергия, которой система тел обладает благодаря их взаимному расположению (конфигурации системы). Лишено физического смысла понятие «потенциальная энергия одного тела». Говоря о потенциальной энергии поднятого над Землей камня, имеют в виду энергию системы камень – Земля и т.д.¹⁶

Практически недостижима такая конфигурация сколько-нибудь сложной системы, при которой ее потенциальная энергия обратилась бы в нуль. Но при различных процессах нас интересует не сама потенциальная энергия, а ее изменение, которое не зависит от начального уровня отсчета энергии. Поэтому в качестве нулевого выбирают произвольный уровень энергии.

Неправильно называть потенциальной энергию неподвижных тел (еще хуже – неподвижного тела). Например, потенциальные энергии двух систем камень – Земля (рис. 1.24) одинаковы, так как одинаковы конфигурации систем, несмотря на то, что первый камень покоится относительно Земли, а второй – движется.

При изменении конфигурации системы изменяется ее потенциальная энергия и совершается работа. Какие силы совершают эту работу? Определенному изменению конфигурации системы соответствует совершенно определенное изменение ее потенциальной энергии.

Изменение конфигурации системы связано только с состоянием системы в начале и в конце процесса, оно не зависит от промежуточных конфигураций, через которые проходила система. Следовательно, изменение потенциальной энергии системы не зависит от промежуточных состояний.

В то же время только консервативные силы системы совершают определенную работу, которая не зависит от промежуточных состояний системы. Таким образом, изменение потенциальной энергии системы связано с работой только консервативных сил этой системы, так как лишь такие силы однозначно связаны с ее конфигурацией.

Если камень падает в гравитационном поле Земли, то консервативные силы системы камень – Земля совершают положительную работу. Конфигурация системы при этом изменяется так, что ее потенциальная энергия уменьшается. Вообще, изменение потенциальной энергии системы равно работе ее консервативных сил (внутренних по отношению к системе), взятой с обратным знаком:

.

Например, изменение потенциальной энергии системы тело – Земля равно работе силы тяжести, взятой с обратным знаком:

.

Приняв за нуль потенциальную энергию системы при и обозначив и , получим .