3. Распределение Больцмана

Распределение Больцмана (2.6) для одномерного случая принимает вид

, (2.11)

где – число частиц из данных N в слое толщиной dx вблизи координаты х.

Применим распределение (2.11) к атмосфере Земли. Предположим, что температура воздуха в атмосфере Земли постоянная: T=const (случай изотермической атмосферы). Примем, что высота h атмосферы значительно меньше радиуса Земли R (h<<R) и, следовательно, в пределах атмосферы можно считать ускорение свободного падения постоянным (g=9,8 м/с²=const). Тогда потенциальная энергия молекулы массой m на высоте х от поверхности Земли U(x)=mgh.

Используя условие нормировки (2.2), определим постоянную В₁:

.

Отсюда .

Таким образом, число молекул в слое воздуха толщиной на высоте от поверхности Земли

.

Пусть элементарная площадка, перпендикулярная оси ОХ. Тогда, элемент объема, а выражение

– это давление атмосферы на поверхности Земли. Следовательно, в объеме на высоте х от поверхности Земли число молекул

.

Так как плотность молекул на высоте х, а плотность молекул вблизи поверхности Земли, то

.

Отсюда можно получить барометрическую формулу:

.

4. Средняя длина свободного пробега молекулы

Средней длиной свободного пробега называется среднее расстояние, которое проходит молекула без соударения, иными словами – между двумя последовательными соударениями. На длине свободного пробега молекула движется равномерно и прямолинейно.

Средняя длина свободного пробега молекулы прямо пропорциональна средней арифметической скорости молекулы и обратно пропорциональна среднему числу столкновений молекулы за единицу времени

.

Средним временем свободного пробега молекулы называется время, в течение которого молекула движется без столкновений, т.е. это – среднее время между двумя последовательными соударениями

.

Средняя длина свободного пробега

,

где число молекул в единице объема;

эффективный диаметр молекулы.

Для данного газа при неизменной температуре средняя длина свободного пробега обратно пропорциональна давлению газа р (или его плотности)

.

Индексы 1 и 2 относятся соответственно к двум состояниям газа.

5. Основное уравнение кинетической теории газов

кроме статистического метода физические явления в газообразных и других телах изучаются еще и термодинамическим методом. Совокупность значений некоторых физических величин, характеризующих физические свойства тела, определяет его термодинамическое состояние. Физические величины, однозначно определяющие состояние тела, называются термодинамическими параметрами²³. к ним можно отнести температуру, плотность, теплоемкость, удельное электрическое сопротивление и многие другие физические величины. Два состояния тела считаются различными, если для них неодинаковы значения хотя бы одного из термодинамических параметра.

Состояние системы тел называется стационарным, если ни один из термодинамических параметров, определяющих состояние, не изменяется с течением времени. Стационарное состояние системы называется равновесным, если оно не обусловлено какими-либо явлениями, происходящими с телами, внешними по отношению к данной системе.

4. Один конец металлического стержня помещен в тающий лед, а другой – в кипящую воду так, чтобы температуры обоих концов стержня не изменялись с течением времени. Можно ли назвать такое стационарное состояние равновесным?

Пусть N молекул идеального газа находятся в равновесном состоянии внутри куба с ребром l (рис. 2.2). Движение всех молекул можно разложить по трем направлениям осей координат и рассматривать независимые движения, параллельные этим координатным осям. При хаотическом движении все направления равновероятны, поэтому можно считать, что вдоль каждой оси движется молекул. Усредненная сила ударов этих молекул о стенки сосуда, отнесенная к единице поверхности, представляет собой давление газа на стенку. При ударе о стенку сосуда отмеченная на рисунке 2.2 молекула отскакивает абсолютно упруго, т.е. изменяет свою скорость на обратную. Изменение импульса равно

.

Согласно второму закону Ньютона изменение импульса за единицу времени равно силе, с которой стенка действует на молекулу:

.

Здесь – средняя (за время удара ) сила, с которой стенка действует на молекулу, по третьему закону Ньютона она равна силе, с которой эта молекула действует на стенку. За какое-то время эта молекула ударится о выбранную стенку (х=0, рис. 2.2) n раз и передаст ей импульс . Значит, средняя (за время t) сила, действующая на молекулу со стороны стенки (или на стенку со стороны молекулы), равна

.

Число n соударений легко узнать, зная время между двумя последовательными соударениями данной молекулы с этой стенкой:

,

так как . Получаем

,

откуда средняя (за произвольное время t) сила давления выбранной молекулы на стенку . Другая молекула будет действовать на эту стенку аналогичной силой (мы считаем массы молекул одинаковыми: ) и т.д. Сложим силы давления от всех молекул, движущихся вдоль оси х:

.

По определению, квадрат средней квадратичной скорости

,

отсюда

или .

Тогда давление на стенку

,

где объем сосуда.

Величина, равная отношению числа молекул в объеме V к этому объему, называется концентрацией молекул: .

Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы

.

Следовательно,

 основное уравнение кинетической теории газов.

Если давление производит смесь газов, то аналогичный вывод приведет нас к закону Дальтона:

давление смеси газов равно сумме их парциальных²⁴ давлений:

.