5. Работа и механическая энергия

   1. Работа силы при движении материальной точки

Простейшим определением работы можно считать следующее: работа – физическая величина, характеризующая действие силы F на определенном пути S. Пусть сила, направленная вдоль пути, действует на прямолинейно движущееся тело. Тогда работа . При равенстве нулю одного из сомножителей (нет силы или нет пути) равна нулю и работа. В частности, если сила поддерживает неподвижный груз в поле сил тяжести, то ее работа равна нулю. Если тело движется горизонтально (рис. 1.20), то сила по-прежнему удерживает тело от падения, и, следовательно, на этом пути ее работа равна нулю. Вообще, сила, перпендикулярная пути, работы не совершает.

Пусть теперь постоянная сила действует на прямолинейном пути под углом к нему. Ее работу можно представить как сумму работ ее составляющих, направленных параллельно и перпендикулярно пути (рис. 1.21). Но работа перпендикулярной составляющей равна нулю. Следовательно, работа заданной силы равна работе ее продольной составляющей, т.е.

. (1.3)

Работа положительна, если направление продольной составляющей силы и пути совпадают , и наоборот.

25. Тело равномерно движется по окружности в горизонтальной плоскости, причем исключены какие-либо силы трения. На тело действует центростремительная сила. Чему равна работа, совершаемая ею за один оборот тела?

В общем случае сила переменна, путь криволинеен, угол изменяется произвольно. Тогда для вывода формулы работы нужно разбить путь на такие малые (в пределе бесконечно малые) перемещения, на которых можно считать силу и угол неизменными и воспользоваться формулой (1.3). Элементарная работа тогда равна

,

где – скалярное произведение векторов силы и элементарного перемещения .

Конечная работа равна сумме элементарных работ и тем точнее, чем меньше перемещение и чем больше их число:

. (1.4)

Это выражение является определением физического понятия «работа». Пусть продольная составляющая F какой-либо силы произвольно зависит от пути (рис. 1.22). элементарная работа графически изобразится площадью той или иной заштрихованной полоски. Конечная работа на пути от точки до точки по формуле (1.4) графически изобразится площадью криволинейной фигуры, ограниченной осью абсцисс, ординатами и начала и конца пути и графиком . В СИ единицей работы является джоуль (Дж).

Назовем консервативными¹² силы, работа которых не зависит от формы пути (зависит только от его начала и конца). Обозначим работы перемещения точки из положения 1 в положение 2 по разным путям буквами А₁ и А₂ (рису. 1.23). по определению консервативности сил, .

Работа перемещения точки из положения 2 в положение 1 по второму пути равна, естественно, . Если перевести точку из положения 1 в положение 2 по первому пути, а затем обратно по второму, т.е. провести по замкнутому пути 121, то суммарная работа будет равна

.

Следовательно, работа консервативных сил на замкнутом контуре равна нулю. В механике, как было указано выше, консервативными являются силы упругости и гравитации.

Работа упругой силы может быть вычислена следующим образом:

.

Пусть а тогда деформация х равна пути, на котором совершается работа переменной силы упругости (например, при растягивании пружины). Эта работа равна

.

Знак минус говорит о том, что работа совершена над пружиной.

Можно было растянуть пружину в пределах упругости к тому же удлинению х как-то иначе, через другие значения, но работа была бы такой же. Таким образом, работа упругой силы действительно не зависит от формы пути.