6. Уравнение состояния идеального газа

Состояние заданной массы газа определяется значениями трех параметров: давления p, объема V и температуры T. Эти параметры закономерно связаны друг с другом, так что изменение одного из них влечет за собой изменение других. Указанная связь может быть задана аналитически в виде функции

.

Соотношение, определяющее связь между параметрами какого-либо тела, называется уравнением состояния этого тела. Следовательно, указанная выше функция представляет собой уравнение состояния данной массы газа. Идеальный газ с хорошей точностью подчиняется уравнению

.

Следовательно, это уравнение есть уравнение состояния идеального газа или уравнение Клапейрона: произведение давления на объем данной массы, деленное на его термодинамическую температуру есть величина постоянная (для этой массы газа).

Его можно использовать для определения одного из параметров газа в виде

.

 для любых первого и второго состояний данной массы газа.

По закону Авогадро моль любого вещества при нормальных условиях занимает объем . Поэтому для моля газа можно записать

(молярный объем при условиях р и Т) или

, (2.12)

где молярная газовая постоянная. Ее значение 8,31 Дж/(моль·К).

Обозначим число молей в произвольной массе газа . Для этой массы газа . Объем такой массы газа при условиях р и Т будет в раз больше молярного объема при тех же условиях: . Следовательно,

или .

Так как , то для произвольной массы идеального газа получим уравнение²⁵ Менделеева – Клапейрона

.

Уравнение Менделеева – Клапейрона является обобщением экспериментальных газовых законов и включает их в качестве частных случаев.

Так, для изотермического процесса (Т=const, закон Бойля – Мариотта)

=const.

Для изобарического процесса (р=const, закон Гей – Люссака)

=const.

Для изохорического процесса (V=const, закон Шарля)

=const.

5. Нарисуйте графики перечисленных выше изопроцессов в координатных осях P-V, V-T и T-P.

7. Связь средней кинетической энергии поступательного движения молекул и температуры

Используя уравнение состояния газа, можно получить связь средней кинетической энергии поступательного движения молекул и температуры.

Основное уравнение кинетической теории газов

.

Умножим это уравнение почленно на объем и сравним с уравнением Менделеева – Клапейрона:

.

Приравнивая правые части этих уравнений, получим: .

Отсюда .

Объем газа связан с молярным объемом и числом молей в данной массе: . Поэтому

.

Произведение представляет собой число молекул одного моля, т.е. равно постоянной Авогадро. Следовательно,

.

Введем новую величину как частное от деления двух постоянных величин – постоянную Больцмана:

.

Тогда средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы

.

Таким образом, температура действительно пропорциональна и является мерой средней кинетической энергии поступательного движения молекул.

Подставим теперь полученное значение средней кинетической энергии поступательного движения молекул в основное уравнение кинетической теории газов:

.

Видим, что в соответствии с принятой моделью давления газа чем больше концентрация молекул и чем выше температура, тем больше давление.

6. В чем же все-таки физический смысл термодинамической температуры?