Ответы на вопросы к главе 1

1. При рассмотрении годичного движения Земли вокруг Солнца, естественно, Землю можно рассматривать как материальную точку, т.к. характерное расстояние – среднее расстояние между центрами Земли и Солнца (1,5 10¹¹ м) на несколько порядков превышает размер Земли (радиус 6,37 10⁶ м). Во втором случае Землю нельзя рассматривать как материальную точку, т.к. размерами Земли, суточным вращением ее вокруг своей оси и т.п., уже пренебрегать нельзя.

2. Стрела при подъеме груза совершает вращательное движение, а сам груз поступательное.

3. Вектор перемещения точки равен нулю, а путь, пройденный точкой, равен удвоенной высоте подъема 2Н.

4. Средняя скорость точки равна нулю, т.к. вектор перемещения равен нулю. Средняя скалярная скорость точки равна .

5. Первый тип движения – прямолинейное равномерное движение; второй – прямолинейное неравномерное движение; третий – равномерное вращение по окружности.

6. Перемещение точки вдоль оси ОХ равно м (знак минус указывает на то, что движется в отрицательном направлении оси ОХ). Путь, пройденный точкой, равен м.

7. Пройденный точкой путь равен , где первое слагаемое представляет путь, пройденный точкой в равнозамедленном движении от начального момента времени до момента времени , а второе – путь при равноускоренном движении за промежуток времени .

8. Движение парашютиста нельзя назвать свободным, т.к. кроме силы тяжести на него действует еще сила сопротивления со стороны воздушной атмосферы. Движение искусственного спутника Земли представляет собой свободное падение, которое продолжается бесконечно длительное время (действием всех сил по сравнению с силой гравитационного притяжения к Земле можно пренебречь).

9. Скорость тела определяется выражением .

10. Линейная скорость точки увеличилась в два раза, период уменьшился в четыре раза, а частота вращения увеличилась в четыре раза.

11. Объяснить это можно на основании первого закона Ньютона. В первом случае ноги человека замедляют движение, а туловище по инерции двигается вперёд. Во втором случае ноги человека ускоренно двигаются вперёд за счет резкого уменьшения коэффициента трения, а туловище по инерции сохраняет своё положение. В обоих случаях за счёт смещения центра тяжести относительно опоры происходит падение человека.

12. Брусок может рассматриваться как свободное тело, ибо сила тяжести бруска уравновешивается выталкивающей силой, а всеми иными воздействиями на брусок можно пренебречь. Из опыта известно, что при таком движении тележки брусок будет приближаться к левой стенке сосуда. В первом случае поведение бруска истолковывается на основании первого закона Ньютона: свободный брусок сохраняет состояние покоя (неизменное положение относительно системы координат, связанной с поверхностью Земли), в то время как тележка вместе с сосудом перемещается вправо (левая сторона сосуда ускоренно приближается к бруску). Во втором случае брусок ускоренно (неинерциально) перемещается влево без каких бы то ни было воздействий на него в этом направлении, а тележка с сосудом покоится в системе координат с ней связанной. При этом первый закон Ньютона для бруска не выполняется (брусок совершает неинерциальное движение, хотя он может считаться свободным телом).

13. Рассмотрим, например, тело массой М. На него действуют две силы: сила тяжести Mg и сила сопротивления F. Равнодействующая этих сил есть (Mg – F). Отсюда находим ускорение a=(Mg – F)/M=g – F/M. Таким образом, тело с большей массой имеет большее ускорение и, следовательно, скорее достигнет пола.

14. Согласно третьему закону Ньютона взаимодействие лошади и телеги не может привести к движению этой системы как целого (точнее не может сообщить ускорение системе как целому). В таком случае необходимо существование дополнительного взаимодействия. Иными словами, кроме лошади и телеги в задаче должно участвовать, по крайней мере, еще одно тело. Этим телом в данном случае является Земля. В результате уже имеется не одно, а целых три взаимодействия: 1) лошади и телеги; 2) лошади и Земли; 3) телеги и земли – трение телеги о поверхность. Если сила тяги лошади превысит силу трения телеги о поверхность, то возможно ускоренное движение системы лошади и телеги. Приобретаемое ускорение не связано с взаимодействием телеги и лошади.

15. Скорость отката платформы может быть найдена из закона сохранения проекции импульса на горизонтальную координатную ось. Проекция неуравновешенной после выстрела силы тяжести снаряда (являющейся внешней силой) на указанную ось равна нулю.

16. Согласно второму закону Ньютона тело движется вместе с кабиной лифта с ускорением под действием двух сил: силы тяжести и силы реакции пола кабины . Направим координатную ось по вертикально вниз. Тогда в скалярной форме второй закон Ньютона будет иметь вид: в первом случае или ; во втором случае или . Вес тела по модулю равен силе реакции пола, но противоположен ей по направлению. Таким образом, при любом отличном от нуля ускорении вес тела во втором случае будет больше чем в первом.

17. При последовательном соединении двух одинаковых пружин жесткостью k общее их абсолютное удлинение при приложении произвольной силы F (в данном случае такая сила будет приложена к каждой пружине) будет равно сумме удлинения каждой пружины, т.е. . Так как пружины одинаковы, то и . Таким образом, при параллельном соединении для каждой пружины , а коэффициент жесткости системы . При параллельном соединении общее удлинение системы будет равно удлинению каждой из пружин , результирующая сила упругости сумме сил упругости каждой из пружин . Таким образом, жесткость системы в этом случае . Следовательно, при последовательном соединении двух одинаковых пружин жесткость системы уменьшается в два раза, а при последовательном – увеличивается в два раза.

18. В данном случае на тело действуют три силы: сила тяжести , сила нормальной реакции опоры и сила трения . Очевидно, что в данном случае силы и равны по величине, но противоположны по направлению. Таким образом, центростремительной силой является сила трения , которая и сообщает телу центростремительное ускорение . Согласно второму закону Ньютона . С другой стороны . Сравнивая эти два выражения, получим, что минимальное значение коэффициента трения будет определяться формулой .

19. Очевидно, что максимальный вращающий момент при наименьшей прилагаемой силе (а дверь удобнее открывать именно при этом условии) получается при наибольшем плече ее приложения. Указанное расположение ручки соответствует именно этому условию.

20. Потому что небольшой наклон такого шеста компенсирует большой момент силы тяжести канатоходца, при нарушении им равновесия.

21. Мысленно уберем в обоих пунктах вносящие одинаковый вклад в момент инерции ближайшие к оси половинки стержней. После этого получим картину, показанную на рисунке. Очевидно, что оставшиеся половинки стержней будут иметь различный момент инерции, так как имеют различное расположение относительно оси вращения. В пункте 5 выделенная масса располагается дальше относительно оси вращения и ее момент инерции, а следовательно, и момент инерции всего стержня будет больше чем для стержня в пункте 4.

22. В устойчивом равновесии высота центра тяжести тела минимальна по сравнению со всеми близкими положениями; в неустойчивом – максимальна; в безразличном – одинакова во всех достаточно близких положениях.

23. Ответ без комментариев.

24. Так как равенство нулю суммы сил, действующих на тело, учитывая реакции осевых подшипников, достигается в этом случае автоматически. Именно поэтому такое тело не может двигаться поступательно.

25. Центростремительная сила в данном случае в каждый момент времени перпендикулярна мгновенной скорости и не может изменить значение ее модуля. Следовательно, работа такой силы за любой момент времени (естественно и за период) будет равна нулю.

26. Выстрел ниже уровня воды приводит к разрыву банки. Под пулей развивается достаточно большое давление, которое передается по закону Паскаля и вызывает соответствующее действие сил давления – банка разрывается на куски.

27. Допустим это не так. Тогда две точки, находящихся на одном горизонтальном уровне и имеющие разные давления, можно соединить системой цилиндров, расположенных горизонтально и вертикально (как на рис. 1.27). Разность давлений сделает такую систему цилиндров неуравновешенной, и жидкость начнет перетекать (пока автоматически давления на одном уровне не сравняются).

28. Будем мысленно поднимать некоторое тело объемом V и плотностью ρ на высоту Н, делая это один раз в вакууме, а другой раз в идеальной жидкости с плотностью ρ₁. В первом случае на указанном подъем надо затратить энергию ρgVH. Во втором случае затраченная энергия оказывается меньше, поскольку поднятие тела объемом V на высоту Н в жидкости сопровождается одновременным опусканием на такую же высоту объема V жидкости. Поэтому в последнем случае для подъема тела необходимо затратить энергию (ρgVH–ρ₁gVH). Рассматривая вычитаемое ρ₁gVH как работу некоторой силы, можно заключить, что по сравнению с вакуумом на тело в жидкости действует дополнительная сила F=ρ₁gV, которая и облегчает подъем тела. Эту силу называют выталкивающей силой. Нетрудно видеть, что она как раз равна весу жидкости в объеме V погруженного в жидкость тела.

29. Положение уровня не изменится, так как вес льда уравновешен выталкивающей силой и, следовательно, равен весу жидкости (в данном случае воды), вытесненной льдом. Когда лед растает, он превратится в воду, объем которой он вытеснял ранее.

30. Пусть он отклонится от оси симметрии струи в какую-либо сторону (см. рис.). Тогда скорость обтекания станет больше со стороны, обращенной к оси симметрии, т.е. к середине струи. Давление там будет меньше, и сила, появившаяся в результате разницы давлений и направленная в сторону меньшего давления, будет возвращать шарик к середине струи.

31. Примем один звездолет за неподвижную систему отсчета. Тогда Земля движется относительно него со скоростью . Отметим, что по преобразованиям Галилея . На самом деле