7. Равномерное движение точки по окружности

Движение по окружности является простейшим примером криволинейного движения.

Скорость движения по окружности называется линейной скоростью. При равномерном движении по окружности модуль мгновенной скорости материальной точки с течением времени не изменяется: . Тангенциальное ускорение отсутствует (). Изменение вектора скорости по направлению характеризуется нормальным ускорением , которое в каждой точке траектории направлено по радиусу к центру окружности (рис. 1.7), а ее модуль равен

,

где радиус окружности.

При описании механического движения, в частности движения по окружности, наряду с прямоугольной декартовой системой координат, используется полярная система координат. Положение точки М на какой-то плоскости (например, XOY) определяется двумя полярными координатами (рис. 1.8): модулем радиус-вектора точки и углом - угловой координатой, или полярным углом. Точку О называют полюсом системы координат.

Совместим полюс координатной системы с центром окружности, по которой движется материальная точка; тогда (рис. 1.9), а изменение положения точки на окружности может быть охарактеризовано изменением угловой координаты (в пределах изменения угла от 0 до 2):

.

Угол называется углом поворота радиус-вектора точки. Для того чтобы указать, в какую сторону совершается поворот вокруг данной оси, связывают направления поворота и изображающего его отрезка правилом правого винта: направление отрезка должно быть таким, чтобы, глядя на него (рис. 1.10), мы видели поворот совершающимся по часовой стрелке (вращая головку правого винта по часовой стрелке, мы вызываем перемещение от себя). В общем повороты на конечные углы складываются не по правилу параллелограмма и поэтому не являются векторами. Иначе обстоит дело для поворотов на очень малые углы dφ, и такие повороты можно рассматривать как векторы, направления которых связываются с направлением вращения тела.

Средней угловой скоростью движения точки по окружности вокруг заданного центра (или оси) за промежуток времени называется величина

.

Угловой скоростью (мгновенной угловой скоростью) называется векторная величина, равная пределу, к которому стремится отношение угла поворота , ко времени этого поворота при Δt, стремящемся к нулю:

.

Угловая скорость направлена вдоль оси, вокруг которой вращается тело, в сторону, определяемую правилом правого винта. Модуль угловой скорости равен . При равномерном вращении угловая скорость не изменяется во времени. Угол поворота радиус-вектора точки, равномерно вращающейся по окружности, равен

.

Промежуток времени , в течение которого точка совершает один полный оборот по окружности, называется периодом вращения, а величина , обратная периоду - частотой вращения.

За один период угол поворота радиус-вектора точки равен 2 рад, поэтому , или .

Путь , пройденный точкой, равномерно движущейся по окружности, за промежуток времени от до момента равен

.

Путь, пройденный точкой за один период по окружности радиуса , равен , а угол поворота радиус-вектора точки за тот же промежуток времени равен 2 рад, т.е. и . Отсюда находим связь между линейной и угловой скоростью:

.

10. Угловая скорость равномерного вращения материальной точки увеличилась в четыре раза, а расстояние до оси вращения уменьшилось вдвое. Как изменились линейная скорость, период и частота вращения?