3.2.2.1. Кинетические явления и теория идеальных газов

Молекулярная физика изучает строение и свойства вещества, исходя из молекулярно-кинетических представлений, когда любое тело (твердое, жидкое или газооб­разное) состоит из большого числа молекул или атомов, находящихся в беспо­рядочном непрерывном движении.

Эти свойства (давление, температура и т. д.)тел наблюдаются на опыте, как суммарный результат взаимодействия молекул. При этом в молекулярной физике изучается движение, не сводимое к механическому. Для описания закономерностей молекулярного движе­ния используются методы статистической физики, описывающие не движение отдельных молекул, а лишь средние вели­чины, которые характеризуют движение огромной совокупности частиц. В зависимости от агрегатного состояния (газ, жидкость, твердое тело), вещество по-разному ведет себя при внешних воздействиях.

Простейшая мо­дель - идеальный газ, т.е. совокупность материальных точек, не взаимодействующих между собой и обладающих лишь кинетической энергией.

Состояние - совокупность его свойств. Параметры состояния тела - величины, характеризующие его состояние и изменяющиеся под влиянием внешних воздействий - объема V, температуры Т и давления р.

Если параметры в разных точках тела неодинаковы, то такое состояние называется неравновесным. Если тело изолировать от других тел, то эти параметры выравниваются.

Состояние системы, при котором все ее параметры сохраняются постоянными неограниченно долго при изменении внешних условий, называется равновес­ным состоянием.

Связь между параметрами устанавливается урав­нением состояния идеального газа, которое является обобщением опытных газовых законов Гей-Люссака и Бойля—Мариотта. Рис. 3.19 иллюстрирует процесс перехода из одного состояния в другое по схеме: сначала изотермический переход из состояния 1 в со­стояние 1', а затем изохорический переход из состояния 1' в со­стояние 2. В состоянии 1 параметры газа p₁, V₁ , Т₁ , в состоянии 2 - p₂, V₂, Т₂

Р

Рис.3.19

Точки системы, находящейся в состояниях 1 и 1', лежат на одной и той же изотерме, и согласно закону Бойля—Мариотта:

. (3.109)

Точки, определяющие состояния 1' и 2, принадлежат одной изохоре:

. (3.110)

Исключая давление р' , можно получить объединенный газовый закон Клапейрона:

. (3.111)

Согласно закону Авогадро один моль любого газа занимает при одинаковых условиях (одинаковых температуре, давлении) один и тот же объем. Поэтому значение R для одного моля любого газа будет одинаково и называется универсальной газовой постоянной. Нормальное состояние газа в системе СИ: р = 1,01·10 ⁵ Па; V_= 22,4 ·10^-3 м³/моль; T = О°С=273 К. Поэтому

.

Для произвольной массы идеального газа получается уравнение Менде­леева —Клапейрона:

. (3.112)

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов устанавливает связь между макроскопическим параметром (давлением газа в сосуде) и микроскопическим параметром - средней кинетической энергией газовых молекул. Если считать столкновение молекул газа со стенками абсо­лютно упругим, то давление на стенки сосуда определится уда­рами частиц, отскакивающих от стенок без изменения величины скорости. Вследствие хаотичности движения частиц число уда­ряющихся частиц и их скорости будут различны в отдельные моменты времени. Давление, оказываемое газом на стенки сосуда, представляет собой средний импульс силы от ударов молекул газа, приходя­щийся в единицу времени на единицу площади стенки.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов

(3.113)

устанавливает связь между макроскопическим параметром - давлением и микроско­пическим - средней кинетической энергией молекул газа. Это уравнение выведено приближенно с использованием следующих допуще­ний:

1. Движение молекул возможно только в трех взаимно перпендикулярных направлениях.

2. В каждом из направлений движется 1/3 всех молекул.

3. При каждом ударе молекул газа о стенку они передают стенке импульс. При этом считается, что движение молекулы нормально к стенке и удар абсолютно упругий.

Умножив левую и правую ее части на объем одного моля газа, получим

, (3.114)

где nV_=N_А - число частиц в одном моле, равное числу Авогадро. Отсюда

, (3.115)

где отношение представляет собой постоянную Больцмана. Т. е. средняя кинетическая энергия поступательного движе­ния молекул идеального газа пропорциональна абсолютной тем­пературе.

Физический смысл абсолютной температуры: она является количественной мерой средней кинетической энергии поступательного движения молекул.

Кинетическая энергия поступательного движения всех час­тиц N_A в одном моле газа

, (3.116)

а для произвольной массы газа m, содержащей (m/) молей:

. (3.117)

Из (3.113) и (3.115) следует, что давление газа пропорционально его температуре:

, (3.118)

Если газ представляет собой смесь, содержащую в единице объема n₁ молекул одного газа, n₂ - второго, n₃ - треть­его и т.д., то общее число молекул в единице объема равно

. (3.119)

Из (3.118) и (3.119) получается закон Дальтона:

. (3.120)

Давление смеси идеальных газов равно сумме парциальных давлений газов, об­разующих смесь. Давления p₁, р₂,.. .р_N называются парциальными давлениями.

Внутренняя энергия системы

Внутренней энергией системы (некото­рой массы газа) называется суммарная кинетическая энергия хаотического теплового движения молекул. Она является функцией состояния. Это означает, что внутренняя энергия системы, которая находится в данном состоянии, принимает присущее этому состоянию значение, независимо от того, что происходило в си­стеме ранее.

Следовательно, изменение внутренней энергии при переходе системы из одного состояния в другое будет всегда равно разности значений внутренней энергии в этих состояниях, независимо от пути, по которому совершается переход.

Средняя кинетическая энергия поступательного движения, одной молекулы идеального газа равна . При рассмотрении двухатомных, трехатомных и многоатомных молекул, кроме поступательного движения следует учитывать также вра­щательное и колебательное движения. При этом вво­дится понятие числа степеней свободы, под которым понимается минимальное число независимых координат, полностью определяющих положение тела в пространстве. Если все виды движения равновероятны, то на одну степень свободы приходится количество энергии

.

Если молекула имеет i степеней свободы, то ее средняя энер­гия равна и внутренняя энергия одного моля идеального газа равна

, (3.121)

а внутренняя энергия произвольной массы газа

. (3.122)

Теплоемкость газов

Для повыше­ния температуры тела, масса которого равна m, на величину ΔT необходимо затратить количество тепла:

Q=cmT, (3.123)

где с — удельная теплоемкость вещества, под которой подразумевают физическую величину, равную количеству тепла, необходимому для нагревания единицы массы вещества на T=1К.

Для одного моля газа вводится молярная теплоемкость C_. Под молярной теплоемкостью подразумевается физическая величина, численно равная количеству тепла, кото­рое необходимо сообщить одному молю этого вещества, чтобы поднять его температуру на 1К.

Количество тепла, необходимое для нагревания нескольких мо­лей газа на один Кельвин:

. (3.124)

Соотношение между удельной и молярной теплоемкостями

С_=с. (3.125)

Величина теплоемкости газа зависит от условий, при кото­рых она измеряется. Нагрев может идти при постоянном объеме или при постоянном давлении, и при этом теплоемкости назы­ваются соответственно теплоемкостью при постоянном объеме C_V и теплоемкостью при постоянном давлении С_P.

1. V=const . Если газ нагревается при постоянном объеме, то тепло, подводи­мое к газу, идет лишь на его нагревание, т. е. на увеличе­ние внутренней энергии, поскольку работа против действия внешних сил не производится:

Тогда для получим

; . (3.126)

Молярная теплоемкость газа при постоянном объеме опреде­ляется числом степеней свободы его молекул и по классической теории теплоемкость газа не зависит от температуры.

2. p=const. При нагревании газа при постоянном давлении этот газ расширяется. Сообщаемое ему тепло идет не только на увеличение его внутренней энергии, но и на совершение работы против сил внешнего давления. Поэтому теплоемкость С_P должна быть выше теплоемкости C_V на величину, равную работе A_, кото­рую совершает один моль газа при расширении:

. (3.127)

Для 1 моля газа, находящегося при температуре Т и давлении р в цилиндре с поршнем, площадь которого равна S, работа A, которая совершается против действия сил внешнего давления при перемещении поршня на малое расстояниеl и при соответствующем увеличении объема газа на величину V за счет подводимого тепла Q_p, определится так:

A=Fl=pSl=pV=RT. (3.128)

Таким образом, при нагревании 1 моля газа при постоянном давлении на 1 Кельвин работа численно равна универсальной газовой постоянной:

A_=R. (3.129)

Теперь из (3.127) получим

C_p=C_V+R =. (3.130)

Отношение этих теплоемкостей для каждого газа

(3.131)

является характеристикой газа и зависит только от числа степеней свободы молекул этого газа. Для различных по своему составу газов, но имеющих одинаковое число атомов в молекулах, это отношение одинаково. Так, например, молекулы двухатомных газов таких, как кислород, водород, азот и т. д., имеют в составе одной молекулы два атома. Поэтому для всех этих газов , а для одноатомных газов таких, как неон, аргон и т. д., .

Адиабата идеального газа

Адиабатическим называется процесс, протекающий без теплообмена с окружающей средой. При этом система не получает тепла извне и не отдает тепла окружаю­щим телам. Реально это условие неосуществимо, и всякий реальный процесс может происходить лишь как приближенный к адиабатическому. Близкими к адиабатическому оказываются процессы, протекающие настолько быстро, что обмен теплом с внешней средой не успевает про­изойти.

Поскольку величина под­водимого тепла равна нулю, то работа может производиться только за счет изменения внутренней энергии газа. Из закона сохранения энергии

dU+dA=0, т. e. dA=-dU. (3.132)

Если газ совершает положительную работу, то его внутрен­няя энергия убывает. Если внешние силы совершают работу над газом, то его внутренняя энергия увеличивается.

Изменение внутренней энергии одного моля идеального газа равно

. (3.133)

Откуда

C_VdT+pdV=0. (3.134)

И с учетом уравнения состояния идеального газа для одного моля газа получим

. (3.135)

Это выражение преобразуется так:

, или: . (3.136)

Откуда следует

. (3.137)

Коэффициент, стоящий перед lnV, равен

. (3.138)

Тогда из (3.137) получается уравнение адиабатического процесса в переменных Т и V:

. (3.139)

Если в этой формуле выразить температуру Т из уравнения со­стояния идеального газа, то получим уравнение адиабаты в пе­ременных р и V, или уравнение Пуассона:

PV^=const. (3.140)

Если изотермический процесс происходит за счет непре­рывного поступления извне тепла, которое полностью компенси­рует изменение внутренней энергии при совершении газом ра­боты. внешними телами, то при адиабатическом процессе работа газа совершается за счет его внутренней энергии. При расширении газ охлаждается, при сжатии — нагревается.

Если изобразить оба эти процесса графически, то кривая адиабаты пойдет круче, чем кривая изотермы (рис. 3.20,а). В точке M обе кривые пересекаются.

Рис. 3.20,а Рис. 3.20,б

Поскольку кривая изотермы соответствует процессу, проходящему при постоянной температуре, то адиабатическое расширение сопровождается понижением температуры, а адиабатическое сжатие - повышением температуры. Поэтому участок адиабаты выше точки M (т. е. при больших, чем в этой точке значениях объема) лежит ниже изотермы, а участок адиабаты, соответствующий значениям объема, меньшим, чем в точке M, лежит выше изотермы.

На рис. 3.20,б представлены та же изотерма и две адиабаты - для двухатомного газа ( = 1,4) и для одноатомного газа ( = 1,67). Видно, что последняя адиабата идет круче первой.

Реальные процессы не носят строго изотермического или адиабатического характера, так как невозможно осуществить ни идеального обмена теплом, ни полной тепловой изоляции. Реальные процессы носят промежуточный характер между изо­термическим и адиабатическим.

Для закрепления данной темы рассмотрим пример решения задачи.

Пример 6

Чему равны удельные теплоемкости c_V и с_p некоторого двухатомного газа, если плотность этого газа при нормальных условиях равна 1, 43 кг/м³?

Дано:

 = 1,43 кг/м³

i = 5

____________

c_p - ? c_V - ?

Решение. Удельные теплоемкости равны

и

Из уравнения Клапейрона-Менделеева находим

так как плотность газа  = m / V.

Подставляя молярную массу в формулы для теплоемкости, имеем

и

Произведем вычисления, учитывая, что для двухатомного газа число степеней свободы i = 5. Так как при нормальных условиях давление p = 1,01^.10⁵ Па и T = 273 K, находим

Дж/(кг ^.К),

Дж/(кг ^.К).

Пример 7

Кислород массой 2 кг занимает объем 1 м³ и находится под давлением 0,2 МПа. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема 3 м³, а затем при постоянном объеме - до давления 0,5 МПа. Найти изменение внутренней энергии газа, совершенную им работу и теплоту, переданную газу. Построить график процесса.

Дано:

О₂

m = 2 кг

V₁ = 1 м³

P₁ = 0,2 МПа = 2^.10⁵ Па

1) P = const, V₂ = 3 м³

2) V = const, P₃ = 0,5 МПа = 5^.10⁵ Па

____________________

U - ? A - ? Q - ?

Решение. Изменение внутренней энергии газа

(3.141)

где i - число степеней свободы молекул газа (для двухатомных молекул кислорода i = 5), T = T₃ - T₁ - разность температур газа в конечном (третьем) и начальном состояниях.

Начальную и конечную температуру газа найдем из уравнения Менделеева-Клапейрона:

PV = ( m /  ) RT,

откуда

T = PV / (mR).

Работа расширения газа при постоянном давлении выражается формулой

A₁ = (m / ) RT.