Пример 2

Автомобиль массой 2 т начинает разгоняться из состояния покоя по горизонтальному пути под действием постоянной силы. В течение 10 секунд он приобретает скорость 12 м/с. Определить величину импульса, полученного автомобилем, и величину действующей силы.

Дано:

m=2т=2·10³ м;

v₁=0;

v₂=12 м/с;

t=10 c.

_______________

p=? F=?

Решение. Импульс, полученный автомобилем в проекции на направление движения

p=p₂ –p₁ = mv₂ . (3.17)

Для того, чтобы найти действующую силу, воспользуемся вторым законом Ньютона:

, (3.18)

или в проекции на направление движения

. (3.19)

Проведем вычисления по формулам (3.17) и (3.19):

p= mv₂ = 2·10³ · 12 = 2,4 · 10⁴ кг·м/c;

.

Вопросы для самопроверки

1. Что изучает динамика?

2. Дайте определение динамических характеристик тела.

3. Что такое динамическое уравнение?

4. Что такое масса?

5. Что такое инертность?

6. Дайте определение импульса.

7. Сформулируйте свойство аддитивности импульса.

8. Напишите динамическое уравнение для импульса.

9. Что такое сила?

10. Сформулируйте принцип суперпозиции сил.

11. Что такое взаимодействие?

12. Сформулируйте третий закон Ньютона.

13. Сформулируйте условия, при которых ускорение прямо пропорционально силе.

14. Запишите формулу второго закона Ньютона при условии, что массу МТ можно считать постоянной.

15. Напишите формулу для вычисления скорости тела по заданной силе.

16. Напишите формулу для определения закона движения тела по заданной силе.

17. При каких условиях возникает сила трения скольжения?

18. Как направлена сила трения скольжения?

19. Напишите соотношение, определяющее величину силы трения скольжения.

20. Сформулируйте условия, при которых возникает сила трения покоя.

21. Как направлена сила трения покоя?

22. Чему равна величина силы трения покоя?

23. Напишите формулу, определяющую максимальное значение силы трения покоя.

24. Запишите формулу закона всемирного тяготения.

25. Запишите выражение для силы тяжести.

26. Выведите формулу для ускорения свободного падения на поверхности Земли g₀ .

3.2.1.3. Работа и энергия

Рассмотрим движение материальной точки по криволинейной траектории от исходного положения 1 до положения 2. Определим элементарную работу на бесконечно малом участке траектории dS, на котором в момент времени t находится точка. Радиус-вектор ее положения равен r(t). Вектор перемещения dS определим как вектор, по абсолютному значению равный элементу dS и направленный по касательной к траектории.

Рис. 3.4

На бесконечно малом участке траектории силу F можно считать постоянной и работу определить как скалярное произведение вектора силы F на вектор перемещения dS:

dA=(FdS)=FdScos. (3.20)

Работа силы F положительна dA>0 (т. е. сила совершает работу), если , т. е. . Если же , то cos<0 и работа силы F отрицательна: dA<0 (работа совершается против направления действия силы).

Полная работа по перемещению материальной точки из положения 1 в положение 2 определяется интегралом от dA по всему пути S:

. (3.21)

Например, работа переменной силы при изменении скорости тела от v₁ до v₂ будет

(3.22)

Работа характеризует только изменение энергии, поэтому кинетическая энергия задается с точностью до произвольной постоянной С:

(3.23)

При v=0 по отношению к данной системе отсчета следует считать E_k=0 и, таким образом, положить C=0. Тогда:

(3.24)

Под механической энергией понимают сумму кинетической и потенциальной энергий. Потенциальная энергия характеризует взаимодействие тел, зависит от их взаимного расположения и действующих в системе сил, но не зависит от скорости тел. Установлено, что потенциальную энергию можно задать не для любого силового поля, а только в случае консервативных сил, работа которых не зависит от формы пути, а определяется только разностью потенциальных энергий в начальной и конечной точках пути. Примером такой силы является гравитационная сила, т. е. сила тяжести, действующая в гравитационном поле.

Если, например, тело массы m находится в поле тяготения Земли, то работа, которую совершает сила тяжести при свободном падении (перемещение тела изменяется от r₁ до r₂) совершается за счет убыли потенциальной энергии тела. Сила тяготения - переменная сила:

, (3.25)

где r - расстояние от центра Земли до тела; M_з - масса Земли. Элементарная работа равна

, (3.26)

а полная работа при перемещении тела на всем пути от r₁ до r₂

(3.27)

где

(3.28)

есть потенциальная энергия тела в гравитационном поле Земли. Работа сил тяжести совершается за счет убыли потенциальной энергии, которая также задается с точностью до произвольной постоянной. За нуль отсчета потенциальной энергии Е_п=0 принимается значение потенциальной энергии в бесконечности (т. е. при r → ∞), когда прекращается взаимодействие тел.

Закон сохранения механической энергии: полная механическая энергия замкнутой системы, в которой действуют консервативные силы, сохраняется постоянной во времени.

Если, например, тело падает, т. е. перемещается в гравитационном поле, то сила тяжести совершает работу за счет убыли потенциальной энергии. На малом отрезке dr элементарная работа равна

(3.29)

Однако при этом кинетическая энергия тела увеличивается, т. е. совершаемая работа идет на увеличение кинетической энергии тела:

, (3.30)

откуда следует:

(3.31)

или:

. (3.32)

Это и есть закон сохранения механической энергии. Убыль потенциальной энергии сопровождается равным возрастанием кинетической энергии.

Если же в системе действуют также и неконсервативные силы, например силы трения, то механическая энергия системы уменьшается и переходит в немеханические виды энергии (тепловую энергию и др.). При этом работа сил трения равна убыли механической энергии тела:

. (3.33)

В таких системах выполняется общий закон сохранения: в изолированной системе сумма всех видов энергии остается постоянной.

В качестве иллюстрации рассмотрим прямой центральный удар шаров, т. е. такой удар, при котором вектор скорости одного из шаров в момент столкновения проходит через центр тяжести другого. Возможны два крайних случая - абсолютно упругий и неупругий удары.

При абсолютно упругом ударе кинетическая энергия движения шаров полностью, без потерь переходит в потенциальную энергию деформации шаров. Шары деформируются, а затем восстанавливают свою первоначальную форму. Потенциальная энергия деформации полностью переходит в кинетическую энергию движения шаров. Если шары движутся без трения, то систему из двух шаров можно считать замкнутой и для такой системы закон сохранения импульса запишется в следующем виде:

, (3.34)

где m₁ и m₂ - массы первого и второго шаров соответственно;

v₁₀ и v₂₀ - векторы начальных скоростей первого и второго шаров;

v₁ и v₂ - векторы скоростей обоих шаров после удара.

Одного этого уравнения недостаточно для того, чтобы найти скорости шаров после удара. Воспользуемся еще законом сохранения энергии для замкнутой системы из двух шаров, который будет иметь следующий вид:

. (3.35)

Отсюда находим

, (3.36)

В этих выражениях знак "-" соответствует случаю шаров, движущихся навстречу друг другу, а знак "+" соответствует случаю, когда первый шар догоняет второй.

В случае абсолютно неупругого удара шары деформируются необратимо. После столкновения шары не восстанавливают свою форму и движутся дальше (или покоятся) вместе с одной и той же скоростью, образуя как бы единое целое. Закон сохранения импульса имеет вид

. (3.37)

Откуда можно найти общую скорость шаров после удара:

. (3.38)

Для закрепления настоящей темы рассмотрим пример 3.