3.2.1.4. Элементы динамики вращательного движения твердого тела

При описании вращательного движения применяется идеализация - абсолютно твердое тело. При вращении все его точки описывают окружности вокруг одной прямой - оси вращения.

Если тело за время t поворачивается на угол , то угловая скорость определяет быстроту изменения угла поворота во времени:

. (3.43)

Направление вектора угловой скорости  определяется правилом правого винта: вектор  направлен так же, как направлен винт с правой резьбой при завинчивании, причем направление вращения винта совпадает с направлением вращения тела.

Изменение угловой скорости во времени характеризуется угловым ускорением:

. (3.44)

Если тело вращается вокруг неподвижной оси, то направления векторов  и  совпадают с направлением оси вращения. При вращении твердого тела все угловые величины - ,  и  одинаковы для различных точек твердого тела, а линейные величины – скорость v и ускорение a - зависят от расстояния R точек до оси вращения. По определению:

, а в векторной форме (3.45)

Полное ускорение состоит из нормальной и тангенциальной составляющих:

,

где

и (3.46)

Модуль полного ускорения:

. (3.47)

Таким образом, и нормальное, и тангенциальное ускорения увеличиваются линейно с увеличением расстояния от точки до оси вращения.

Рассматривая вращение тела относительно неподвижной оси z, проходящей через центр масс, введем понятие момента силы относительно некоторой точки (начала отсчета) (рис.3.5).

Рис.3.5

Сила F приложена в точке А, точка О - начало отсчета, т. е. точка, относительно которой определяется момент силы F, а r - радиус-вектор точки приложения силы. Момент силы определяется как векторное произведение радиус-вектора r на саму силу F:

. (3.48)

Вектор М перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы r и F, причем, если смотреть вдоль вектора М, то поворот от r к F по кратчайшему пути должен происходить по часовой стрелке (т. е. здесь также можно пользоваться правилом буравчика). Векторное произведение можно представить в виде определителя:

, (3.49)

раскрывая который по элементам первой строки, можно получить выражение для момента. Модуль вектора М равен

(3.50)

где  - угол между направлением векторов r и F, а l - плечо силы, т. е. длина перпендикуляра, опущенного из точки О на линию действия силы.

Вращение твердого тела вызвано касательными силами F, т. е. силами, лежащими в плоскости, перпендикулярной оси вращения и направленными по касательной к окружности в точках приложения сил. Проекция момента на ось Z представляет собой момент силы относительно оси Z:

(3.51)

Разложим вектор r на две составляющие - направленную вдоль оси Z (R_z) и перпендикулярно оси (R):

Тогда:

. (3.52)

Последний член обращается в нуль, так как векторы R_z и F коллинеарны. Поэтому

, (3.53)

т. е. проекция момента также направлена вдоль оси вращения.

Будем считать, что вращающееся твердое тело состоит из множества N малых объемов (понятие малый объем означает, что он настолько мал по сравнению с размерами тела, что его можно считать материальной точкой).

Расстояние от i-го элементарного объема до оси вращения равно R_i. Если тело вращается вокруг оси с угловой скоростью , то i-й элементарный объем обладает линейной скоростью v_i, массой m_i, импульсом p_i=m_ip_i и моментом импульса относительно оси Z :

, (3.54)

Векторы R_i и p_i взаимно-перпендикулярны и поэтому (3.54) можно переписать так:

. (3.55)

Учитывая выражение для линейной скорости получим

(3.56)

где величина

(3.57)

называется моментом инерции материальной точки относительно оси вращения. Момент инерции определяет инерциальные свойства материальной точки при вращательном движении. Суммируя теперь (3.56) по всем элементарным объемам, на которые мы разбили тело, получим

, (3.58)

где величина

(3.59)

называется моментом инерции твердого тела относительно оси Z. Строго говоря, момент инерции определяется не суммой, а интегралом, который представляет собой предел этой суммы:

(3.60)

где  - плотность материала, а V_i - элементарный объем. Таким образом, масса этого элементарного объема равна m_i=V_i. Интегрирование ведется по всему объему тела.

В качестве примера рассмотрим выражения для моментов инерции некоторых тел

Момент инерции круглого прямого цилиндра (рис. 3.6,а) относительно оси вращения,

Рис. 3.6

совпадающей с осью симметрии цилиндра, равен

Момент инерции круглого прямого кольцевого цилиндра (рис. 3.7), наружный радиус которого - R₂, внутренний - R₁, равен .

Рис.3.7

Момент инерции стержня длиной L и сечением S, относительно оси ОО^′ (рис. 3.8), проходящей через его середину, равен .

Рис. 3.8

Момент инерции стержня, относительно оси, проходящей через один из его концов (рис.3.9), равен

Рис. 3.9

Основное уравнение динамики вращательного движения

Вернемся к рассмотрению вращающегося тела. Для i-го элемента, принадлежащего такому телу, второй закон Ньютона запишется в виде:

(3.61)

где F_i - касательная сила, действующая на элемент;

m_i - масса элемента;

a_{ i} - тангенциальное (касательное) ускорение:

(3.62)

где  - вектор углового ускорения тела;

R_i - расстояние от i -го элемента до оси вращения.

Таким образом

. (3.63)

Момент этой силы получается в виде

. (3.64)

Суммируя теперь выражения моментов всех элементарных объемов, получим основное уравнение динамики вращательного движения:

, (3.65)

где J - момент инерции вращающегося тела, который определяется выражением (3.60).

Угловое ускорение тела представляет собой первую производную угловой скорости по времени. Поэтому

Поскольку момент инерции от времени не зависит, получим

. (3.66)

Выражение (3.38) представляет собой закон изменения момента импульса твердого тела. Моментом импульса твердого тела в выражении (3.66) называется величина

.

Если вращающееся тело изолировано, т. е. на него не действуют внешние силы, то и суммарный момент всех внешних сил также равен нулю. В этом случае мы получаем закон сохранения момента импульса для изолированного тела: