Пример 4
Платформа в виде диска массой 120 кг вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью 4 рад/с. Человек массой 60 кг стоит на краю платформы. Какова будет угловая скорость платформы, если человек переместится в ее центр? Момент инерции человека считать как для материальной точки. Трением об ось пренебречь.
Дано:
m1 = 120 кг;
1 = 4 рад/с;
m2 = 60 кг
__________________
2 = ?
Решение. Систему, состоящую из человека и платформы, считаем замкнутой. Предположим, что суммарный момент всех внешних сил, действующих на систему, равен нулю. Трением пренебрегаем. Поэтому для решения применим закон cохранения момента количества движения:
,
(3.67)
где J1 – момент инерции платформы с человеком, стоящим на ее краю;
J2 – момент инерции платформы с человеком в ее центре
Поскольку
(3.68)
то, подставив эти выражения в формулу (3.67), получим
,
откуда
.
(3.69)
В результате вычислений получим для 2:
.
3.2.1.5. Элементы механики жидкости и газа
Гидростатика изучает равновесие жидкости и воздействие покоящейся жидкости на погруженные в нее тела. Если сжимаемостью жидкости можно пренебречь, то такая жидкость считается несжимаемой. Для жидкостей это почти всегда выполняется, но газы сжимаются хорошо.
При относительном смещении слоев жидкости или газа на их границе возникают силы вязкого трения. Если этими силами можно пренебречь, то вещество можно считать идеальным.
При равновесии
давление внутри жидкости или газа
подчиняется закону
Паскаля:
давление в любом месте покоящейся
жидкости одинаково по всем направлениям,
причем давление одинаково передается
по всему объему, занятому покоящейся
жидкостью.
Рис. 3.10
Давление p в неподвижной жидкости определяется отношением модуля силы F, действующей перпендикулярно выделенной площадке, к ее площади S.
(3.70)
В жидкости, находящейся в поле тяжести, давление увеличивается с ростом глубины погружения. Для несжимаемой жидкости, где плотность ρ постоянна, справедливо соотношение
,
(3.71)
причем зависимость давления от глубины погружения дается выражением
(3.72)
Суммарное давление p в жидкости складывается из давления p0, производимого внешними силами на поверхность жидкости, и давления
(или
),
обусловленного весом столба жидкости. Это полное давление называется гидростатическим.
Значение выталкивающей силы устанавливается законом Архимеда: эта сила направлена противоположно вектору g, ее модуль равен весу жидкости, объем которой совпадает с объемом погруженной в жидкость части тела, а точка приложения этой силы совпадает с центром масс жидкости, форма которой совпадает с формой погруженной части тела.
,
(3.73)
где ρ – плотность жидкости, V – объем погруженной части тела.
Исходя из закона Архимеда, сравнивая выталкивающую силу с весом тела, определяют условие плавания тел.
Движение идеальной жидкости
Опыты и расчеты показывают, что при скоростях, значительно меньших скорости звука (эта скорость при нормальных условиях равна 340 м/с), можно не учитывать сжимаемость воздуха и других газов, так как она достаточно мала. Следовательно, к ним можно применять те же законы, что и к малосжимаемым жидкостям. При скоростях, близких к скорости звука и превосходящих ее, сжимаемость газов становится существенной, газы разогреваются, и в этом случае необходимо учитывать и тепловые процессы.
Понятие абсолютно несжимаемой жидкости относительно и определяется условиями задачи.
В общем случае движения жидкости нужно также учитывать наличие сил внутреннего трения или вязкости, возникающей при относительном перемещении слоев.
Идеальная жидкость – это жидкость, вязкостью и сжимаемостью которой можно пренебречь. Существуют два режима течения такой жидкости.
Течение называется ламинарным (слоистым), если вдоль потока каждый выделенный тонкий слой скользит относительно соседних слоев, не перемешиваясь с ними. Течение называется турбулентным (вихревым), если вдоль потока происходит интенсивное вихреобразование и перемешивание жидкости (газа).