Ламинарное течение

При установившемся течении жидкости ее скорость в определенной точке пространства остается неизменной. Скорость жидкости может быть различной в разных точках, но любой элемент жидкости, приходящий в заданную фиксированную точку пространства, имеет в ней одну и ту же скорость. Распределение скоростей в жидкости называется полем скоростей. Линии, касательные к которым во всех точках совпадают с направлениями скорости жидкости в этих точках, называются линиями тока. При установившемся стационарном течении жидкости поля скоростей и линий тока не меняются со временем. При ламинарном течении линии тока не пересекаются между собой и совпадают с траекториями отдельных элементов жидкости.

Часть жидкости, ограниченная линиями тока, называется трубкой тока (рис. 3.11). Выделенная таким образом часть жидкости движется, нигде не пересекая боковой поверхности трубки. При стационарном течении количество жидкости, проходящей в единицу времени, сечение S₁ равно количеству жидкости, проходящей за то же время через сечение S₂.

Рис. 3.11

Если выбрать трубку с поперечным сечением настолько малым, чтобы скорости v жидкости во всех точках сечения были одинаковыми, причем это сечение ориентировано перпендикулярно линиям тока, то масса жидкости , протекающей через это сечение за время :

.

В стационарном потоке масса одна и та же для любого поперечного сечения выбранной трубки тока:

.

Так как рассматриваемая жидкость несжимаема, то .

Уравнение неразрывности имеет вид

При движении идеальной жидкости ее механическая энергия сохраняется.

Уравнение Бернулли

Впервые уравнение движения для идеальной жидкости было сформулировано Даниилом Бернулли в 1734 г. Хотя это уравнение было написано задолго до появления концепции сохранения энергии, в действительности оказалось эквивалентным закону сохранения энергии для движущейся жидкости.

Рассмотрим часть жидкости заключенной между сечениями и выделенной трубки тока, расположенными на высотах и (рис. 3.12).

Рис.3.12

За промежуток времени эта жидкость смещается вдоль трубки тока и занимает новое положение между сечениями и . Для малого промежутка времени можно пренебречь различием между площадями и обоих сечений и различием в их высотах.

Работа, совершаемая внешними силами, действующими на выделенную жидкость в трубке тока, определяется выражением

(3.74)

поскольку силы давления, действующие на боковую поверхность трубки тока, перпендикулярные перемещению жидкости, работы не совершают, а работы сил давления в сечениях и отличаются знаком. С учетом соотношения (3.74) можно получить следующее соотношение:

, (3.75)

которое называется уравнением Бернулли, которое означает, что сумма остается неизменной вдоль одной и той же линии тока.

Движение вязкой жидкости

Установившееся ламинарное течение жидкости возможно только при не слишком больших скоростях потока жидкости в трубах малого поперечного сечения. С увеличением скорости или с увеличением площади сечения трубы характер течения изменяется. Вместо слоистого ламинарного течения возникает носящее нерегулярный характер турбулентное, течение.

Для введения количественной характеристики вязкости жидкости рассмотрим опыт, схематически показанный на рис.3.13.

Рис. 3.13

Жидкость находится между двумя твердыми плоскими параллельными пластинами, причем нижняя пластина закреплена, а верхняя может перемещаться параллельно нижней с небольшой скоростью. Если к верхней пластине приложить силу в касательном направлении, то она начнет двигаться относительно неподвижной нижней пластины. При этом слои жидкости будут скользить друг относительно друга: вблизи нижней пластины скорость жидкости будет мала, а вблизи верхней – почти равна скорости пластины.

Опыт показывает, что для поддержания равномерного движения верхней пластины к ней необходимо прикладывать силу F, направленную вдоль пластины, значение которой пропорционально скорости пластины v и ее площади S и обратно пропорционально расстоянию между пластинами:

. (3.76)

Коэффициент пропорциональности η называется вязкостью жидкости. Благодаря “прилипанию” жидкости к поверхности пластины, сила F характеризует внутреннее трение, т. е. трение между проскальзывающими друг относительно друга слоями жидкости.

Однако и до возникновения турбулентности вязкость может оказывать существенное влияние на ламинарное течение жидкости. При наличии вязкости для поддержания стационарного течения жидкости в горизонтальной трубе неизменного сечения необходимо поддерживать постоянную разность давлений на концах трубы. Как мы знаем, в идеальной жидкости при таком движении давление одинаково вдоль всей трубы.

Характер течения определяется при помощи безразмерного параметра – числа Рейнольдса

, (3.77)

где ρ – плотность жидкости;

<v> – средняя по сечению трубы скорость жидкости;

d – характерный линейный размер, например диаметр трубы.

При малых значениях числа Рейнольдса (R_e<1000) наблюдается ламинарное течение. Переход от ламинарного течения к турбулентному происходит в области 1000<R_e<2000, а при R_e=2300 (для гладких труб) течение турбулентное. Если число R_e одинаково, то режим течения различных жидкостей в трубах разных сечений одинаков.

Обтекание тела потоком жидкости

На твердое тело, движущееся в жидкости или в газе, действует сила лобового сопротивления, направленная вдоль потока жидкости. На тело несимметричной формы со стороны потока действует сила, направленная под некоторым углом к скорости жидкости.

Полная сила , действующая на тело со стороны потока, содержит две составляющие – в направлении потока, которую называют лобовым сопротивлением, и силу, направленную перпендикулярно потоку, которую называют подъемной силой.

При стационарном обтекании тела произвольной формы потоком идеальной жидкости лобовое сопротивление отсутствует. В этом заключается парадокс Даламбера. Как ясно из картины линий тока на рис.3.14,а, изменения импульса жидкости не происходит, поэтому сила, действующая на тело, равна нулю.

Это же можно увидеть и с помощью уравнения Бернулли, из которого следует, что давление в соответствующих точках впереди тела и за ним одинаково,

а) б)

Рис. 3.14

п оскольку скорости частиц жидкости в этих точках, лежащих на одной линии тока, равны по модулю и отличаются только направлением. Лобовое сопротивление для данного тела отлично от нуля, когда картина линий тока имеет вид, показанный на рис.3.14,б, что соответствует завихрению вязкой жидкости позади тела (рис.3.15).

Рис.3.15

В случае, когда твердое тело, а следовательно, и поток жидкости не обладают симметрией, рассуждения усложняются.

Возникновение подъемной силы также связано с явлением отрыва жидкости или газа от поверхности обтекаемого тела. Теория подъемной силы, действующей на крыло самолета, была развита Жуковским и Куттой, которые показали, что величина подъемной силы для крыла бесконечного размаха определяется циркуляцией воздуха вокруг него.

Рассмотрим обтекание воздухом крыла самолета, которое несимметрично и (или) несимметрично расположено относительно горизонтальной плоскости, в которой оно движется. Скорости частиц вязкого воздуха возрастают по мере удаления от поверхности крыла. Благодаря этому, в пограничном слое движение воздуха вихревое. Сверху крыла вращение совершается по часовой стрелке, а снизу – против часовой стрелки, если поток воздуха (или жидкости) набегает слева направо. Предположим, что в результате отрыва от поверхности крыла какая-то масса воздуха, находившаяся в пограничном слое снизу от крыла, уносится потоком в виде отдельных вихрей. Эта масса уносит определенный момент импульса.

а) б)

Рис. 3.16

Если отрыва пограничного слоя воздуха от поверхности крыла под ним не происходит, то для сохранения полного момента импульса системы воздух во внешнем потоке должен начать циркулировать вокруг крыла по часовой стрелке. При этом скорость воздуха под крылом уменьшается, над крылом увеличивается, и возникает подъемная сила, направленная вверх.

Картина линий тока при несимметричном расположении крыла в потоке имеет вид, показанный на рис. 3.16,а.

Поток воздуха под крылом огибает заднюю кромку крыла и встречается вдоль линии АВ с потоком, огибающим крыло сверху. Здесь образуется поверхность раздела, свертывающаяся в вихрь, в котором вращение происходит против часовой стрелки. Вихри уносятся потоком вместе с моментом импульса, которым они обладают, а вокруг крыла возникает циркуляция воздуха по часовой стрелке. Возрастание скорости течения над крылом и уменьшение ее под крылом приводит к смещению точки А, пока она не достигнет задней кромки крыла, при этом картина линий тока показана на рис. 3.16,б.

В отсутствие вязкости дальнейшее образование вихрей на этом прекратилось бы. Однако, благодаря вязкости, циркуляция воздуха вокруг крыла постепенно затухает. Точка А смещается от кромки крыла вверх, и вновь появляются условия для возникновения вихрей. Все повторяется снова. При постоянной скорости самолета описанный процесс носит регулярный характер – вихри периодически отрываются от задней кромки крыла, поддерживая практически постоянной величину циркуляции воздуха, а с ней и действующую на крыло подъемную силу.

Теперь становится более понятным физический механизм возникновения лобового сопротивления. Можно четко выделить две причины этого явления. Во-первых, вклад в лобовое сопротивление дают касательные силы внутреннего трения, действующие со стороны набегающего потока на “прилипший” к поверхности тела пограничный слой. Во-вторых, как мы видели, лобовое сопротивление возникает в результате различия сил давления на переднюю и заднюю поверхности тела вследствие несимметричности картины обтекания вязкой жидкостью даже симметричного тела.