Вопросы для самопроверки

2. Каков физический смысл уравнения неразрывности для несжимаемой жидкости и как его вывести?

3. Выведите уравнение Бернулли.

4. Как в потоке жидкости можно измерить статическое, динамическое и полное давление?

5. Сформулируйте и объясните законы Архимеда и Паскаля.

6. Какое течение жидкости называется ламинарным и турбулентным?

7. Каким критерием определяется переход режима течения жидкости от ламинарного к турбулентному?

8. Какое явление называется вязкостью жидкости?

3.2.1.6. Элементы релятивистской механики

Принцип относительности движения был сформулирован в ме­ханике для инерциальных систем еще Галилеем. Считалось, что время во всех таких системах течет одинаково, т. е. выступает как абсолютная величина. Из этого вытекало, что инвариантными (т. е. неизменными) относительно преобразований Галилея были лишь законы механики, а законы оптики и электродинамики уже оказы­вались неинвариантными.

Положение тела (материаль­ной точки) определяется относительно какой-то выбранной системы отсчета, выбранной системы координат.

Инерциальной системой отсчета в физике называется та­кая система отсчета, в которой выполняется первый закон Ньютона, или закон инерции. В инерциальной системе от­счета любое тело, любая изолированная материальная точка имеет ускорение, равное нулю.

Очевидно, что всякая система отсчета, которая движется прямолинейно и равномерно относительно инерциальной системы отсчета, также будет инерциальной системой.

Рис. 3.17

Связь между координатами одной и той же точки М в двух различных инерциальных системах координат можно определить (рис. 3.17), если считать, что система О неподвижна, а система О движется относительно нее с постоянной скоростью v в направлении оси X. Координаты (y, x) и (y´, x´) в этих системах не изменяются, т. е. возможные повороты систем отсутствуют и

y´= y, z´ = z. (3.78)

Эти координаты связаны друг с другом следующим соотношением:

x=x'+vt. (3.79)

Можно записать и обратный переход от координаты в системе О к координате в системе О':

х'=х - vt. (3.80)

По классической механике считалось, что время в обеих системах О и О' течет одинаково, т. е.

t'=t. (3.81)

Таким образом, для выбранного случая движения вдоль оси x преобразования координат и времени в классической механике при переходе от подвижной системы отсчета к неподвижной будут следующими:

x=x'+vt; у=y'; z=z'; t=t'. (3.82)

Обратные преобразования координат и времени:

х'=х - vt; y'=у; z' = z; t'=t. (3.83)

Если в общем случае начало О' подвижной системы отсчета движется со скоростью v относительно начала О неподвижной системы в произвольном направлении (рис. 3.18), то

r = r₀ + r', или r' = r – vt, (3.84)

где r — радиус-вектор точки М в системе О; r' — радиус-вектор точки M в системе О', r₀ = vt.

Рис. 3.18

Из выражения (3.84) получим связь между координатами и скоростями точки в двух инерциальных системах О и О':

; . (3.85)

Закон сложения скоростей в классической механике также представляет собой линейную зависимость или линейное преобразование. Поэтому в классической механике относительная скорость остается инвариантной при переходе от одной инерциальной системы к другой.

Для ускорений будем иметь

, (3.86)

т. е. в инерциальных системах ускорение тела также одинаково (инвариантно). Из этого следует, что система, движущаяся с постоянной скоростью относительно инерциальной системы, также будет инерциальной. Поскольку в классической механике постулируется независимость массы тела от скорости его движения, то в рассматриваемых инерциальных системах отсчета О и О' масса должна быть одинаковой (инвариантной), т. е.

m' = m. (3.87)

Это означает, что будут равны силы

ma' = ma и F' = F. (3.88)

Отсюда следует, что согласно классической механике второй закон Ньютона (т. е. основной закон динамики) будет инвариантным в инерциальных системах отсчета (инвариантным относительно преобразований Галилея). Это означает, что силы, действующие на тело в инерциальных системах О и О', будут одинаковыми.

Принцип относительности Галилея: никакими механическими опытами, выполнен­ными в данной системе отсчета, нельзя установить, покоится ли эта система или она движется равномерно, т. е. с постоянной скоростью.

Однако для законов электродинамики преобразования Галилея неинвариантны в инерциальных системах.

Вывод из этих противоречий был сделан в 1905 году Эйнштейном, предложившим специальную теорию относительности. Анализируя многочисленные экспериментальные данные, Эйнштейн постулировал, что все законы физики, в том числе и законы электродинамики и оптики, должны быть инвариантными по отношению к инерциальным системам отсчета. Этот основной постулат называется принципом относительности Эйнштейна.

Вторым постулатом специальной теории относительности является принцип постоянства скорости света в вакууме, которая не зависит от движения источников и приемников света и является величиной постоянной, равной с=3.10⁸ м/с.

Этот второй постулат основан на опыте Майкельсона, которому не удалось обнаружить зависимость скорости света в вакууме от скорости движения источ­ника или наблюдателя.

Закон сложения скоростей в классической механике противоречит второму постулату специальной теории относительности. На основе формулы (3.85) можно заключить, что если в системе О' световой сигнал распространяется со скоростью с, то в системе О его скорость будет равна (с + v), что противоречит принципу постоянства скорости света в вакууме.

Новые формулы преобразования координат и времени для инерциальных систем отсчета, удовлетворяющие обоим постулатам теории относительности, были получены при условии, что время в этих системах течет неодинаково, т. е. что t' = t. С учетом, что при движении вдоль оси х координаты у и z не изменяются, преобразования координат и времени будут

. (3.89)

Для обратного перехода от системы О' к системе О:

. (3.90)

Эти выражения называются преобразованиями Лоренца. Легко показать, что в случае медленного движения тел или частиц, когда v<<c, преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея:

. (3.91)

Поэтому преобразования Лоренца в теории относительности справедливы для быстродвижущихся частиц или для частиц, движущихся со скоростью, близкой к скорости света. В случае же медленных или обычных механических движений они переходят в преобразования Галилея.

Важные следствия из преобразований Лоренца

1. Одновременность событий. Если в различных точках с координатами х₁ и х₂ неподвижной системы О (рис. 3.17) происходят одновременно (t₂=t₁) два события (например, вспышки света), то в подвижной системе О' эти события оказываются уже неодновременными.

. (3.92)

Т. е. одновременность событий не сохраняется при переходе от одной системы отсчета к другой.

2) Интервал времени между двумя событиями. В движущейся системе координат интервал вре­мени между событиями увеличивается по сравнению с интервалом времени между теми же событиями в неподвижной системе координат, т. е. часы идут медленнее, чем в неподвижной системе отсчета, как бы имеет место «удлинение времени» для часов движущихся, по сравнению с неподвижными часами.

, (3.93)

3) Изменение длины при переходе к движущейся системе отсчета. Пусть в неподвижной системе отсчета О длина объекта, координаты концов которого x₁ и x₂, равна l= x₂ - x₁ =x. При этом считается, что измерение координат происходит одновременно в обеих системах отсчета. Интервал длины x'=x₂' - x₁' = l' в подвижной системе О' будет

, (3.94)

причем интервал времени t=t₂ - t₁ определяется, считая, что координаты x₂' и x₁' в системе О' измерены одновременно (т. е. t₂' - t₁'=0). Следовательно

и

,

т. е.

. (3.95)

Понятия одновременности событий, интервала длины и интервала времени есть поня­тия относительные, справедливые только для данной системы отсчета. При этом, однако, причинно-следственная связь явлений не нарушается. Все выводы специальной тео­рии относительности справедливы лишь для инерциальных систем.

Закон сложения скоростей в релятивистской механике

Если скорость какого-то тела (материальной точки) в системе О задается вектором u с составляющими u_x, u_y, u_z, а в системе О вектором u с составляющими u_x', u_y', u_z', то закон сложения скоростей в релятивистской механике имеет вид

; ; . (3.96)

Последние две формулы в (3.96) определяют закон сложения скоростей в направлении, поперечном к направлению относительного движения инерциальных систем.

В частном случае, когда рассматривается только продольное движение, то

.

Импульс и энергия в релятивистской механике

В соответствии с первым постулатом специальной теории относительности второй закон Ньютона остается инвариантным и в релятивистской механике, если определить импульс следующим образом:

, (3.97)

где m₀ - масса частицы, которая остается инвариантной во всех инерциальных системах отсчета (масса покоя частицы). Для малых скоростей (v<<c) импульс принимает обычное выражение:

p =m₀v. (3.98)

Силу можно записать так:

, (3.99)

Энергия W частицы равна работе, затраченной на приобретение этой энергии. Поэтому

. (3.100)

Откуда получим выражение для энергии W быстро движущейся частицы:

=, (3.101)

поскольку константу в (3.101) можно положить равной нулю. При v=0 энергия частицы будет равна

, (3.102)

т. е. покоящаяся частица также обладает энергией, которую можно трактовать как некоторую внутреннюю энергию частицы (энергию покоя).

Кинетическая энергия W_k частицы равна разности полной энергии и энергии покоя:

. (3.103)

При малых скоростях движения, т. е. при v<<c, получим

, т.е. .

С учетом этого выражение (3.103) можно представить в виде

, т.е. .

Кроме того, в релятивистской механике часто используется формула, непосредственно связывающая энергию и импульс частицы.

. (3.104)

Например, для фотона, для которого масса покоя равна нулю (m₀ = 0), из (3.104) получается

W=cp.

Учитывая, кроме того, что W=hν, где  - частота, получим hν = cp, или , т. е. приходим к известной формуле для импульса фотона.

Формула взаимосвязи массы и энергии

Из (3.102) видно, что энергия покоя тела пропорциональна его массе, а величина с² является постоянной. Поэтому изменения энергии покоя системы взаимодействующих тел (W) и суммарной массы системы (m) также будут пропорциональны друг другу:

W=mc². (3.105)

Например, ядро атома гелия , или (-частица) состоит из двух протонов и двух нейтронов. Их суммарная масса, больше, чем масса -частицы. Это явление называется дефектом массы. Этому известному из опыта «дефекту массы» соответствует энергия связи нуклонов в ядре. Точно так же известно, что при реакции деления ядра урана () под воздействием медленных нейтронов суммарная масса продуктов деления оказывается меньше суммарной массы исходных продуктов на определенную величину m. Это изменение массы соответствует изменению энергии W, т. е. энергии связи (атомной энергии), которая выделяется при протекании данной реакции.

Для закрепления настоящей темы рассмотрим пример.