6.5.Показатели вариации.

Средн.величина дает обобщаю-щую хар-ку савокупности, однако при значит.рассеивании индивид значения признака она не достаточна. Для измерения вариации применяются различные обобщающие показатели. Напр. имеются данные о з/пл раб.двух бригад.

I: 105 150 185; II: 70 120 250

Их средн.одинаковы x_I,II=∑x/n=146/ Но структура з/пл различается. Размах вариации - это разность между mах и min значением признака. R=x_max - x_min. R_I=185-105=80; R_II=250-70=180. R_I< R_II в 2,25 раза. Размах зависит только от крайних значений, поэтому применим только для достаточно однородной совокупности. Нужны показатели, учитывающие колебания всех значений признака. Ср.линейное отклонение представляет собой ср. арифметическое из абсолютных отклонений всех значений признака от средней. Для первичного ряда: d_ср= ∑│x - x_ср│/n, для вариац.ряда d_ср= ∑│x - x_ср│f/∑f, d_срI=146-105+[146-150]+[146-185]/3= =28, d_срII=66,6 ; d_{ср I} < d_срII в 2,4 раза.

Дисперсия σ² это среднее из квадратов отклонения вариантов значения признака от их средней величиныσ²=∑( x-x )² /n. Для вариацион.ряда: σ²=∑( x-x )²f/∑ f. σ²_I=(41²+(-4)²+(-39)² )/3=1072,6. σ²_II =5756, σ²_I < σ²_II ~ в 5 раз. Дисперсия имеет самостоятельное значение в ст-ке и относится к числу важнейших показателей вариации. Для альтернативных признаков σ²=p(1-q)=pq; σ=√pq, p – доля единиц, обладающих определенным признаком, а q- нет Т.к. p+q=1, то σ² <=0,25. Ср.квадратич.отклонение: -для вариац.ряда σ_I=√1072,6=32.7; σ_II =75.86, σ_I < σ_II ~ в 2 раза. Ср. квадратич. отклонение одно-временно с дисперсией явл.самым распространенным показателем. Для умеренно ассиметричных распределений d=0,8σ. Ср. линейн. и квадратич. отклонение величины именованные, но даже если они равны между собой, а ср. арифм. различны то для каждой сов-ти они имеют различн. знач-е. Поэтому рассчитывают относ. пок-ль колеблемости: υ_σ =(σ/x)100%, υ_d=(d/x)100%, υ_σI =(32,7/146)100%=22.4%, υ_dI=(28/146)100%=19,2%, υ_σII =51,9%; υ_dII=45.6%. Также коэф. вариации исп. для хар-ки однородности совокупн. Если он <33%, то считают что совокупн.однородна. Показатели вариац.явл. мерой надежности средних. Чем меньше d_ср σ² υ , тем однороднее изучаемая совокупность и надежнее получаемое среднее. По правилу 3-х σ, в нормальн.рядах отклонение от ср.арифм.не превосходит + - 3σ встречается в 997случаях из 1000, + - 2σ в 954 случаях, + - 1σ в 683 случаях. Зная их среднее из σ можно предста-вить весь вариацион.ряд. Напр. ср. з/пл 150 тыс.р., а σ=32.7, то при 3σ. min: 150-3’ 32.7=51.9. max: 150+3’ 32.7=248.1

6.6. Дисперсия и ее свойства.

Расчет дисперсии в ряде случаев явл. весьма трудоемким. Его можно упростить, если воспользо-ваться некоторыми его матем. св-вами. 1)Дисперсия постоянного числа=0. Если х=a, то σ= ∑(х-a)f/∑f =0. 2)Если все значения признака уменьшить или увеличить на постоянное число а, то дисперсия от этого не изменится. Т.е. дисперсию можно исчислитьпо отклонениям постоянного числа а. 3)Если все значения признака уменьшить или увеличить в к-раз, то дисперсия от этого изменится в k² раз. Т.е. можно все значения признака уменьшить в к раз и исчислить дисперсию, а затем ее умножить на k² . Дисперсия признака = разности между средним квадратом значения признака и квадратом x средней.. Рассмотрим пример счета дисперсии с учетом их св-тв. Это способ моментов или условного 0.