Лекция 4 правило лопиталя. Дифференциал функции

План

1 Раскрытие неопределенностей при помощи правила Лопиталя.

2 Дифференциал функции, его геометрический смысл. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

Ключевые понятия

Правило Лопиталя.

Дифференциал функции.

Раскрытие неопределенностей.

1 Раскрытие неопределенностей при помощи правила Лопиталя

При вычислении пределов функции часто возникают неопределенности следующих видов:

Раскрыть эти неопределенности помогает правило Лопиталя. Пусть функции f(x) и g(x) имеют производные в окрестности точки х₀. Тогда:

1. Если то , при условии, что последний предел существует.

2. Если то , при условии, что последний предел существует.

Следовательно, если мы имеем неопределенности воспользоваться правилом Лопиталя означает найти производные числителя и знаменателя, а затем вычислить новый предел.

Пример 1:

а) ;

б) ;

в)

так как (первый замечательный предел).

Рассмотрим остальные неопределенности:

1) . Пусть , тогда, т. е. мы свели данную неопределенность к или , после чего можно применять правило Лопиталя;

2) , тогда ;

3) . Данные неопределенности также сводятся к неопределенностям или . Для этого можно воспользоваться формулой

Так, если то получаем неопределенность (так как , после чего можно получить или (смотри выше).

Пример 2

а)

;

б)

.

2 Дифференциал функции, его геометрический смысл. Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Определение 1 Функция f (х) называется дифференцируемой в точке х₀, если ее приращение в этой точке можно представить в виде

(1)

где А R, (Δх) – бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем Δх при Δх → 0, т.е. .

Теорема: для того, чтобы функция f (x) была дифференцируемой в точке х₀, необходимо и достаточно, чтобы в точке х₀ существовала производная f(x₀) = А.

Следовательно, из формулы (1) имеем

. (2)

Определение 2 Функция (от х) есть главная линейная часть приращения функции f (x) в точке х₀. Эту главную линейную часть приращения функции f (x) и называют дифференциалом функции f (x) в точке х₀ и обозначают

(3)

В частности, для f (x) = х имеем

Следовательно, из формулы (3) получаем:

. (4)

Выясним геометрический смысл дифференциала (см. рисунок):

ВД = ВС + СД; ВД = ВС =  А = = , так как АВ = ,  А = .

Следовательно, из уравнения (2) имеем СД = α().

Таким образом, ВС =

Следовательно, с геометрической точки зрения, дифференциал функции равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой х₀, при приращении аргумента .

Для дифференциалов функций f и g справедливы формулы, подобные формулам для производных функций:

1) ;

2) ;

3)

Пример 3 Найти дифференциалы функций:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

Заметим, что dx = d(x + c), с R, d(ax + в) = adx  dx =

Данные формулы будут широко применяться при вычислении интегралов функций. С помощью дифференциала можно также приближенно вычислить значения функции f для х, близких к х₀. Так, отбросив бесконечно малую функцию в формуле (2), получаем

. (5)

Пример 4 Вычислить приближенно:

а) ; б) .

Решение. Воспользуемся формулой (5):

а) ;

х₀ = 64, = 0,05;

Следовательно,

Заметим, что ;

б)



Заметим, что