Частный институт управления и предпринимательства

В. М. Метельский

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Неопределенный интеграл Минск 2007

Частный институт управления и предпринимательства

В. М. Метельский

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Неопределенный интеграл

Учебно-методическое пособие

Минск 2007

УДК 51(075.8):33

ББК 22.1я73

М 54

Рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом Частного института управления и предпринимательства

А в т о р

доцент кафедры высшей математики и статистики

Частного института управления и предпринимательства

кандидат физико-математических наук В. М. Метельский

Р е ц е н з е н т ы:

профессор кафедры высшей математики Белорусского государственного экономического университета доктор физико-математических наук, профессор Н. С. Коваленко;

доцент кафедры высшей математики Белорусского национального технического университета кандидат физико-математических наук, доцент Т. И. Чепелева

Рассмотрено и одобрено на заседании кафедры высшей математики и статистики,

протокол № 10 от 11.05.2007 г.

Метельский, В. М.

М 54 Высшая математика. Неопределенный интеграл: учеб.-метод. По-собие / в. М. Метельский. – Минск: Частн. Ин-т упр. И предпр., 2007. – 28 с.

Пособие подготовлено в соответствии с учебной программой ЧИУиП по дисциплине «Высшая математика», стандартом и типовой программой Министерства образования Республики Беларусь. Оно включает лекции, задачи, упражнения и индивидуальные задания по теме «Неопределенный интеграл».

Для студентов дневной и заочной форм обучения Частного института управления и предпринимательства.

УДК 51(075.8):33

ББК 22.1я73



 Метельский В. М., 2007

 Частный институт управления и предпринимательства, 2007

Лекция 1. НеоПРЕДЕЛЕННЫЙ иНТЕГРАЛ

План

1. Понятие первообразной функции. Неопределенный интеграл.

2. Основные свойства неопределенного интеграла.

3. Таблица основных неопределенных интегралов.

4. Основные методы интегрирования.

Ключевые понятия

Производная. Первообразная. Неопределенный интеграл. Интегрирование. Подынтегральная функция. Подынтегральное выражение. Переменная интегрирования. Интегральная кривая. Непосредственное интегрирование. Интегрирование заменой переменной. Интегрирование по частям.

1. Понятие первообразной функции. Неопределенный интеграл

Одной из основных задач дифференциального исчисления является отыскание производной заданной функции. В интегральном исчислении решается обратная задача: по данной функции найти функцию , производная которой была бы равна функции , т.е. . Искомую функцию называют первообразной для функции .

Определение 1. Функция называется первообразной для функции на интервале , если она дифференцируема на и для любого выполняется равенство

.

Например, функция является первообразной для функции на всей числовой прямой, так как при любом значении , т.е. выполняется равенство ; функция является первообразной для функции на всей числовой прямой, так как в каждой точке .

Задача отыскания по данной функции ее первообразной решается неоднозначно. Действительно, если является первообразной для функции , т.е. , то функция , где C – произвольная постоянная, также является первообразной для , так как . Например, для функции первообразной является не только функция , но и функция , так как . Таким образом, справедлива следующая теорема:

Теорема 1. Если функция является первообразной для функции на интервале , то множество всех первообразных для задается формулой , где C – произвольная постоянная.

Определение 2. Множество всех первообразных функций для функции на интервале называется неопределенным интегралом от функции на этом интервале и обозначается символом , где – знак интеграла; – подынтегральная функция; – подынтегральное выражение; – переменная интегрирования.

Таким образом:

,

где – некоторая первообразная для на интервале ; C – произвольная постоянная.

Например, поскольку функция является первообразной для функции , то .

Операция нахождения неопределенного интеграла от данной функции называется интегрированием этой функции. Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию. Для того чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирование, достаточно продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию.

Пример 1. Проверить, что .

Решение. Продифференцируем результат интегрирования:

. Получили подынтегральную функцию, следовательно, интегрирование выполнено верно.

Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство плоских кривых , смещенных относительно друг друга вдоль оси . График каждой первообразной (кривой) называется интегральной кривой.