Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
УМП_Неопределенный интеграл Метельский.doc
Скачиваний:
6
Добавлен:
10.11.2018
Размер:
1.15 Mб
Скачать

Задачи и упражнения

1. Применяя метод непосредственного интегрирования, найти следующие интегралы:

a) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) ; з) .

2. Применяя метод замены переменной, найти следующие интегралы:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

ж) ; з) ; и) ;

к) ; л) ; м) .

3. Применяя метод интегрирования по частям, найти следующие интегралы:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

ж) ; з) ; и) .

Лекция 2. НеоПРЕДЕЛЕННЫЙ иНТЕГРАЛ

(продолжение)

План

  1. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен.

  1. Интегрирование простейших рациональных дробей.

  2. Интегрирование простейших иррациональных функций.

  3. Интегрирование тригонометрических функций.

Ключевые понятия

Многочлен. Рациональная дробь. Иррациональная функция. Тригонометрическая функция.

  1. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен

Пусть подынтегральная функция содержит квадратный трехчлен .

  1. Интегралы вида вычисляются следующим образом. Из квадратного трехчлена в знаменателе выделим полный квадрат:

где , если и , если .

Далее сделаем подстановку , откуда , . Получим

.

Последний интеграл является табличным и вычисляется по формулам 15, 16 таблицы основных неопределенных интегралов.

Пример 1. Вычислить интеграл .

Решение. Выделим в знаменателе полный квадрат:

.

Сделаем подстановку . Тогда и

.

Возвращаясь к переменной х, получим

.

  1. Интегралы вида вычисляются аналогично интегралам пункта 1 путем выделения полного квадрата из квадратного трехчлена и последующей замены переменной. В результате исходный интеграл сводится к одному из табличных интегралов вида 12, 13.

Пример 2. Вычислить интеграл .

Решение. Преобразуем квадратный трехчлен следующим образом: . Получим . Положим , тогда , . В результате получаем

=. Переходя к переменной х, получим

.

  1. Интегралы вида и вычисляются путем выделения полного квадрата из квадратного трехчлена и последующей замены переменной. Затем полученный интеграл разбивается на два: первый из этих интегралов можно вычислить, воспользовавшись формулами (2), (3), а второй интеграл является табличным.

Пример 3. Вычислить интеграл .

Решение. Так как , то по-ложим . Тогда и = [полученный интеграл разобьем на два] = . Второй из этих ин-тегралов – табличный: . Для нахождения первого воспользуемся следующим преобразованием дифференциала: . В результате получим = [воспользуемся формулой (3)] = . Окончательно имеем , где . Возвращаясь к переменной х, получим

.

  1. Интегрирование простейших рациональных дробей

Определение. Рациональной дробью называется дробь вида , где и – многочлены степени и соответственно.

Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, т.е. , и неправильной – в противном случае ().

Простейшей рациональной дробью называется правильная дробь одного из следующих видов:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Интегралы от рациональных дробей 1), 2) находятся методом замены переменной:

[положим тогда ] =

[возвращаемся к переменной x] =;

[ ] = [возвращаемся к переменной x] =.

Пример 4. Вычислить интеграл .

Решение. [ сделаем замену ] = .

Интегралы от рациональных дробей 3), 4) вычисляются аналогично интегралам , рассмотренным в п. 1.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.