2 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Определение 10 Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида

,

(8)

или уравнение вида

.

(9)

Заметим, что уравнение (8) можно привести к виду (9) и наоборот. Действительно, так как , то, умножив обе части уравнения на , будем иметь:

– уравнение вида (9).

Далее будем рассматривать уравнение вида (9). Для его решения необходимо добиться того, чтобы при дифференциале стояли только функции, зависящие от переменной х, а при дифференциале – функции, зависящие от переменной у, а затем получившееся уравнение с разделенными переменными можно будет почленно интегрировать.

Пусть ни одна из функций не равна нулю. Тогда, разделив уравнение (9) на произведение , получим уравнение с разделенными переменными:

, .

(10)

Интегрируя (10) почленно, получаем общий интеграл исходного уравнения (9):

.

(11)

Заметим, что мы делили уравнение (9) на произведение , предполагая, что , . При этом мы могли не учесть другие решения исходного уравнения. Непосредственной подстановкой или необходимо проверить, будут ли еще решения уравнения (9) помимо решения (11).

Пример 3 Решить уравнение .

Решение:.

Таким образом, мы получили уравнение с разделенными переменными. Интегрируя его, получим

– общее решение данного уравнения.

Заметим:

1) мы взяли константу С в виде , учитывая вид интегралов;

2) мы делили на .

Пусть теперь . Непосредственной подстановкой убеждаемся, что – решение исходного уравнения. Но оно не будет особым решением, так как получается из общего при .

Пример 4 Решить задачу Коши

, .

Решение. Данное уравнение есть уравнение вида (9), т. е. уравнение с разделяющимися переменными. Непосредственно его интегрировать нельзя, так как при стоит функция от у, а при – функция от х. Умножив данное уравнение на , получим

.

(12)

Уравнение (12) – уравнение с разделенными переменными. Следовательно, его можно почленно интегрировать (обратите внимание на выбор вида константы С):

, х  0 – общее решение исходного ОДУ. Интегральными кривыми будут окружности радиуса с центром в начале координат:

Для решения задачи Коши необходимо из бесконечного множества интегральных кривых найти такую, которая проходит через точку . Для нахождения конкретного значения С подставим в общее решение:

.

Таким образом, решением задачи Коши будет функция , а соответствующая интегральная кривая – это окружность радиуса с центром в начале координат.

3 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение 11 Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

,

(13)

где и – непрерывные на отрезке функции.

Определение 12 Если в уравнении (13) правая часть , то оно называется линейным неоднородным, если – линейным однородным.

Существует несколько методов интегрирования линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Рассмотрим некоторые из них. Сразу отметим, что при решении одного и того же уравнения различными методами мы должны получить один и тот же ответ.