Лекция 12 дифференциальные уравнения высших порядков
План
-
Интегрирование дифференциальных уравнений высших порядков, допускающих понижение порядка.
-
Однородные и неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Ключевые понятия
Дифференциальные уравнения второго порядка.
Однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка.
Неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка.
1 Интегрирование дифференциальных уравнений высших порядков, допускающих понижение порядка
Рассмотрим некоторые типы дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка. Пусть даны уравнения:
;
(1)
;
(2)
.
(3)
Общее решение уравнения (1) находится двукратным интегрированием
Пример
1 Решить
уравнение
.
Решение:
.
Уравнение
(2) с помощью подстановки
сводится к уравнению с разделяющимися
переменными р
и у:
.
Пример
2 Решить
уравнение
.
Решение:
.
Уравнение
(3) с помощью той же подстановки
сводится к уравнению с разделяющимися
переменными р
и х:
.
Пример
3 Решить
уравнение
.
Решение:
.
2 Однородные и неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Однородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида
,
(4)
где p, q R.
Общее решение дифференциального уравнения (4) имеет следующий вид:
y = c1y1 + c2y2 ,
где y1 , y2 – линейно независимые частные решения уравнения (4);
c1, c2 – произвольные постоянные.
Частные решения y1 , y2 находятся с помощью характеристического уравнения
.
(5)
Общее решение дифференциального уравнения имеет следующий вид:
-
если уравнение (5) имеет два различных действительных корня t1, t2 , то:
;
-
если уравнение (5) имеет два совпадающих действительных корня t = t1 = t2 , то
;
-
если уравнение (5) имеет комплексно-сопряженные корни t= i, то
.
Пример
4 Решить
уравнение
.
Решение.
Характеристическое уравнение имеет
вид:
.
Его корни t1 = 1, t2 = 3. Следовательно, общее решение:
.
Пример
5 Решить
уравнение
.
Решение.
Характеристическое
уравнение имеет вид:
.
У него два одинаковых корня t =2. Следовательно, общее решение:
.
Пример
6 Решить
уравнение
.
Решение:
Характеристическое
уравнение имеет вид:
.
D = 16 – 52 = – 36
.
Так как характеристическое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни, то общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
.
Неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:
.
(6)
Имеет место следующая теорема: общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения (6) представляет собой сумму некоторого его частного решения у1 (х) и общего решения у0 (х) соответствующего однородного дифференциального уравнения (4).
Следовательно, у (х) = у0 (х) + у1 (х), причем способы нахождения у0 (х) мы рассматривали выше. Осталось решить задачу нахождения частного решения уравнения (6), т.е. найти у1 (х).
Для специального вида правых частей f (х) задача нахождения частного решения у1 (х) уравнения (6) решается с помощью элементарных операций, таких как дифференцирование. Этот метод называется методом подбора частного решения. Имеет место следующая таблица видов частных решений для различных видов правых частей:
Таблица – Виды частных решений
|
Правая часть дифференциального уравнения |
Корни характеристического уравнения соответствующего однородного уравнения |
Вид частного решения |
|
1) f (х)=аеmx, а, m – постоянные |
Число m не является корнем характеристического уравнения |
у1 (х) = Аеmx |
|
2) f (х)=аеmx, а, m – постоянные |
Число m – простой корень характеристического уравнения |
у1 (х) = Ахеmx |
|
3) f (х)=аеmx, а, m – постоянные |
Число m – кратный корень характеристического уравнения |
у1 (х) = Ах2 еmx |
|
4) f (х)=а cosmx + b sinmx, а, b, m – постоянные |
р 0, q m2 |
у1 (х)= А cosmx + + В sinmx |
|
5) f (х)=а cosmx + b sinmx, а, b, m – постоянные |
р = 0, q = m2 |
у1 (х)= х(А cosmx + В sinmx) |
|
6)f (х)=а x2 + bx + с, а, b, с – постоянные |
q 0 |
у1 (х)=Аx2 + Вx + С |
|
7) f (х)=а x2 + bx + с, а, b, с – постоянные |
q = 0, р 0 |
у1 (х)=х (Аx2 +Вx + С) |
Пример
7 Решить
уравнение
.
Решение. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения
.
Характеристическое
уравнение имеет вид:
.
Его корни
.
Следовательно:
.
Переходим к отысканию частного решения исходного уравнения:
.
Так как m не является корнем характеристического уравнения, то:
у1 (х) = Ае-x , у1 (х) = -Ае-x, у1 (х) = Ае-x,
Ае-x - 4 Ае-x + 20 Ае-x=34 е-x,
17Ае-x = 34 е-x, А = 2
у1 (х) = 2е-x
у
(х) =
у0 (х)
+ у1
(х)=
+ 2е-x.
Пример
8 Решить
уравнение
.
Решение. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения
.
Характеристическое
уравнение имеет вид:
.
Его корни
.
Следовательно:
.
Переходим к отысканию частного решения исходного уравнения.
.
Так как m является простым корнем характеристического уравнения, то:
у1 (х) = Ахе-x , у1 (х) = Ае-x – Ахе-x, у1 (х) = Ахе-x – 2Ае-x,
Ахе-x – 2 Ае-x – 6 (Ае-x – Ахе-x ) – 7 Ахе-x =24 е-x,
-8Ае-x = 24 е-x, А = –3.
у1 (х) = –3хе-x.
у
(х) =
у0 (х)
+ у1
(х)=
– 3хе-x.