- •Лекция 1 предел последовательности
- •1 Понятие числовой последовательности. Предел числовой последовательности. Свойства сходящихся числовых последовательностей
- •Свойства сходящихся последовательностей
- •2 Бесконечно большие и бесконечно малые числовые последовательности. Основные способы вычисления пределов
- •Свойства бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей:
- •Основные способы вычисления пределов:
- •Лекция 2 предел функции
- •1 Предел функции в точке. Односторонние пределы. Предел функции в бесконечности
- •2 Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Замечательные пределы
- •Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций
- •Первый и второй замечательные пределы
- •3 Непрерывность функции в точке и на отрезке. Точки разрыва функции и их классификация
- •Свойства функций, непрерывных в точке:
- •Непрерывность функции на отрезке
- •Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •Точки разрыва функции и их классификация
- •Лекция 3 производная функции
- •1 Производная функции, ее геометрический и экономический смысл. Основные правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций
- •Основные правила дифференцирования
- •2 Логарифмическое дифференцирование. Производная неявной функции. Производные высших порядков
- •Лекция 4 правило лопиталя. Дифференциал функции
- •1 Раскрытие неопределенностей при помощи правила Лопиталя
- •2 Дифференциал функции, его геометрический смысл. Применение дифференциала в приближенных вычислениях
- •Лекция 5 исследование функций
- •1 Локальные экстремумы функции. Достаточные условия экстремума функции
- •2 Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точка перегиба
- •3 Асимптоты графика функции
- •4 Общая схема построения графика функции
- •Лекция 6 функции нескольких переменных
- •1 Предел и непрерывность функции двух переменных
- •2 Частные производные первого порядка. Полный дифференциал. Частные производные высших порядков
- •3 Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия существования экстремума
- •Лекция 7 НеоПределенный иНтеграл
- •1 Первообразная и неопределенный интеграл. Таблица основных неопределенных интегралов
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •2 Основные методы интегрирования
- •Лекция 8 НеоПределенный иНтеграл (продолжение)
- •1 Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен
- •2 Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование простейших иррациональных функций
- •Интегрирование простейших иррациональных функций
- •3 Интегрирование тригонометрических функций
- •Лекция 9 оПределенный иНтеграл
- •1 Определенный интеграл и его геометрический смысл. Основные свойства определенного интеграла
- •Геометрический смысл определенного интеграла
- •Основные свойства определенного интеграла
- •Формула Ньютона-Лейбница
- •2 Основные способы вычисления определенного интеграла Замена переменной в определенном интеграле
- •Интегрирование по частям
- •Доказательство
- •3 Вычисление площадей плоских фигур, объемов тел вращения, длин дуг плоских кривых Площадь криволинейной трапеции
- •Объем тела вращения
- •Длина дуги плоской кривой
- •Лекция 10 несобственные интегралы
- •1 Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
- •2 Несобственные интегралы от неограниченных функций
- •Лекция 11 дифференциальные уравнения первого порядка
- •1 Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши
- •2 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •3 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •1 Метод подстановки (метод Бернулли).
- •2 Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа)
- •Лекция 12 дифференциальные уравнения высших порядков
- •1 Интегрирование дифференциальных уравнений высших порядков, допускающих понижение порядка
- •2 Однородные и неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Лекция 13 числовые ряды
- •Числовой ряд. Сходимость. Признаки сходимости
- •1 Определение числового ряда. Сходимость. Основные свойства числовых рядов
- •Основные свойства числовых рядов
- •2 Ряды с положительными членами. Признаки сходимости
- •3 Знакочередующиеся и знакопеременные ряды
- •Лекция 14 степенные ряды
- •Ключевые понятия
- •1 Определение степенного ряда. Теорема Абеля
- •2 Свойства степенных рядов
- •3. Ряды Тейлора, Маклорена для функций
- •Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена
- •Приложения степенных рядов
- •Список литературы
- •Содержание
- •Лекция 13 Числовые ряды………….……………………………………..93
- •Лекция 14 Степенные ряды……………………...……….………………103
- •Список литературы…………..…………….……...………………………..112
- •220086, Минск, ул. Славинского, 1, корп. 3.
Лекция 13 числовые ряды
План
1 Определение числового ряда. Сходимость. Основные свойства числовых рядов.
2 Ряды с положительными членами. Признаки сходимости.
3 Знакочередующиеся и знакопеременные ряды.
Ключевые понятия
Числовой ряд. Сходимость. Признаки сходимости
1 Определение числового ряда. Сходимость. Основные свойства числовых рядов
В математических приложениях, а также при решении некоторых задач в экономике, статистике и других областях рассматриваются суммы с бесконечным числом слагаемых. Мы дадим определение того, что понимается под такими суммами.
Пусть задана бесконечная числовая последовательность
, , …, , … .
Определение 1 Числовым рядом или просто рядом называется выражение (сумма) вида
. (1)
Числа называются членами ряда, – общим или n–м членом ряда.
Чтобы задать ряд (1), достаточно задать функцию натурального аргумента вычисления -го члена ряда по его номеру
Пример 1 Пусть , тогда ряд
(2)
называется гармоническим рядом.
Пример 2 Пусть , , тогда ряд
(3)
называется обобщенным гармоническим рядом. В частном случае при получается гармонический ряд.
Пример 3 Пусть =, тогда ряд
(4)
называется рядом геометрической прогрессии.
Из членов ряда (1) образуем числовую последовательность частичных сумм где – сумма первых членов ряда, которая называется n-й частичной суммой, т. е.
;
;
;
…………………………….
; (5)
……………………………. .
Числовая последовательность при неограниченном возрастании номера может:
1) иметь конечный предел;
2) не иметь конечного предела (т.е. предел не существует или равен бесконечности).
Определение 2 Ряд (1) называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм (5) имеет конечный предел, т. е.
В этом случае число называется суммой ряда (1) и пишется так
.
Определение 3 Ряд (1) называется расходящимся, если последовательность его частичных сумм не имеет конечного предела.
Расходящемуся ряду не приписывают никакой суммы.
Таким образом, задача нахождения суммы сходящегося ряда (1) равносильна вычислению предела последовательности его частичных сумм.
Рассмотрим несколько примеров:
Пример 4 Доказать, что ряд
сходится, и найти его сумму.
Решение: Найдем n-ю частичную сумму данного ряда .
Общий член ряда представим в виде: .
Тогда
Отсюда имеем: . Следовательно, данный ряд сходится и его сумма равна 1:
Пример 5 Исследовать на сходимость ряд
(6)
Решение. Для этого ряда
. Следовательно, данный ряд расходится.
Замечание. При ряд (6) представляет собой сумму бесконечного числа нулей и является, очевидно, сходящимся.
Пример 6 Исследовать на сходимость ряд
(7)
Решение. Для этого ряда
В этом случае предел последовательности частичных сумм не существует и ряд расходится.
Пример 7 Исследовать на сходимость ряд геометрической прогрессии (4):
Решение. Нетрудно показать, что n-я частичная сумма ряда геометрической прогрессии при задается формулой
.
Рассмотрим случаи:
1) Тогда и . Следовательно, ряд сходится и его сумма равна
2) .Тогда и . Следовательно, ряд расходится;
3) или Тогда исходный ряд имеет вид (6) или (7) соответственно, которые расходятся. Окончательно имеем: