1 Первообразная и неопределенный интеграл. Таблица основных неопределенных интегралов

Одной из основных задач дифференциального исчисления является отыскание производной заданной функции. В интегральном исчислении решается обратная задача: по данной функции найти функцию , производная которой была бы равна функции , т.е. . Искомую функцию называют первообразной для функции .

Определение 1 Функция называется первообразной для функции на интервале , если она дифференцируема на и для любого выполняется равенство

.

Теорема: если функция является первообразной для функции на интервале , то множество всех первообразных для задается формулой , где C – произвольная постоянная.

Определение 2 Множество всех первообразных функций для функции на интервале называется неопределенным интегралом от функции на этом интервале и обозначается символом , где – знак интеграла; – подынтегральная функция; – подынтегральное выражение; – переменная интегрирования.

Таким образом:

,

где – некоторая первообразная для на интервале ;

C – произвольная постоянная.

Операция нахождения неопределенного интеграла от данной функции называется интегрированием этой функции. Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию. Для того чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирование, достаточно продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию.

Пример 1 Проверить, что .

Решение. Продифференцируем результат интегрирования:

.

Получили подынтегральную функцию, следовательно, интегрирование выполнено верно.

Основные свойства неопределенного интеграла

Из определения неопределенного интеграла непосредственно вытекают следующие его свойства:

1. Производная от неопределенного интеграла равна подын-тегральной функции; дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

.

2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

.

3. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:

(c – const).

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов:

.

Заметим, что данное свойство справедливо для любого конечного числа слагаемых.

5. Если , а – произвольная функция, имеющая непрерывную производную, то.

Таблица основных неопределенных интегралов

Данную таблицу можно получить исходя из того, что интегрирование представляет собой операцию, противоположную дифференцированию. Часть формул этой таблицы непосредственно следует из таблицы производных основных элементарных функций. Справедливость остальных формул легко проверяется дифференцированием.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. , а  0.

13. , а  0.

14. .

15. , а  0.

16. , а  0.