Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена
1
.
Для
этой функции
,
.
По формуле (7) составим ряд Маклорена данной функции:
.
(8)
Найдем радиус сходимости ряда (8) по формуле (3):
.
Следовательно,
ряд (8) сходится при любом значении
.
Все
производные функции
на любом отрезке
ограничены, т. е.
.
Поэтому, согласно теореме 3, имеет место разложение
.
(9)
2
.
Для этой функции
,
,
.
Отсюда
следует, что при
производные четного порядка равны
нулю, а производные нечетного порядка
чередуют знак с плюса на минус.
По формуле (7) составим ряд Маклорена:
.
При любом фиксированном значении этот ряд сходится как знакочередующийся по признаку Лейбница. При этом
.
Поэтому, согласно теореме 3, имеет место разложение
.
(10)
3 
.
Воспользуемся
разложением (10) в ряд Маклорена функции
и свойством 2 о дифференцировании
степенного ряда. Имеем
|
|
(11) |
.
Поскольку
при почленном дифференцировании
интервал сходимости степенного ряда
не изменяется, то разложение (11) имеет
место при любом
.
Разложения других элементарных функций в ряды Маклорена приведем без доказательства.
4
– биномиальный
ряд (
– любое действительное число).
Если
– положительное целое число, то получаем
бином Ньютона:
.
5
– логарифмический
ряд.
6
.
Приложения степенных рядов
Степенные ряды находят применение в таких задачах, как приближенное вычисление функций с заданной степенью точности, определенных интегралов, решение дифференциальных уравнений и др.
Приближенное значение функции вычисляют, заменяя ряд Маклорена этой функции конечным числом его членов.
Приведем приближенные формулы для вычисления некоторых наиболее часто встречающихся функций при достаточно малых значениях х:
;
;
;
;
;
.
Список литературы
-
Гусак, А.А. Справочное пособие к решению задач. Математический анализ. Дифференциальные уравнения / А.А. Гусак. – Минск: ТетраСистемс, 1998.
-
Минченков, Ю.В. Высшая математика. Теория пределов: учеб.-метод. пособие / Ю.В. Минченков. – Минск: ЧИУП, 2005. – 20 с.
-
Минченков, Ю.В. Высшая математика. Производная функции. Дифференциал функции: учеб.-метод. пособие / Ю.В. Минченков. – Минск: ЧИУП, 2007. – 20 с.
-
Минченков, Ю.В. Высшая математика. Исследование функций: учеб.-метод. пособие / Ю.В. Минченков. – Минск: ЧИУП, 2007. – 23 с.
-
Метельский, В.М. Высшая математика. Непрерывность функции. Функции нескольких переменных: учеб.-метод. пособие / В.М. Метельский. – Минск: ЧИУП, 2005. –24 с.
-
Метельский, В.М. Высшая математика. Неопределенный интеграл: учеб.-метод. пособие / В.М. Метельский. – Минск: ЧИУП, 2007. – 28 с.
-
Метельский, В.М. Высшая математика. Определенный интеграл: учеб.-метод. пособие / В.М. Метельский. – Минск: ЧИУП, 2007. – 28 с.
-
Минченков, Ю.В. Высшая математика. Дифференциальные уравнения: учеб.-метод. пособие / Ю.В. Минченков. – Минск: ЧИУП, 2007. – 27с.
9. Овсеeц, М.И. Высшая математика. Степенные ряды: учеб.-метод. пособие / М.И. Овсеец, Е.М. Светлая. – Минск: ЧИУП, 2006. – 13 с.
10. Овсеец, М.И. Высшая математика. Числовые ряды: учеб.-метод. пособие / М.И. Овсеец, Е.М. Светлая. – Минск: ЧИУП, 2005. – 20 с.