3 Интегрирование тригонометрических функций

1. Интегралы вида , где R – рациональная функция от и , приводятся к интегралам от рациональных функций от переменной t с помощью подстановки (универсальная тригонометрическая подстановка).

Действительно, , , , . Тогда

,

где – рациональная функция от переменной .

Пример 5 Вычислить интеграл .

Решение. Положим . Тогда

, , .

Следовательно:

[переходя к переменной x] =.

2. Интегралы вида находятся с помощью тригонометрических формул:

.

Пример 6 Найти интеграл .

Решение. Так как

, то

.

3. Интегралы вида , где и – четные числа, находятся с помощью следующих формул:

; .

Если одно из чисел или – нечетное или оба этих числа – нечетные, то интеграл вычисляется непосредственно, путем отделения от нечетной степени одного множителя и введения новой переменной: , если – нечетное; , если – нечетное.

Пример 7 Найти интеграл .

Решение:

.

Лекция 9 оПределенный иНтеграл

План

1. Определенный интеграл и его геометрический смысл. Основные свойства определенного интеграла.

2. Основные способы вычисления определенного интеграла.

3. Вычисление площадей плоских фигур, объемов тел вращения, длин дуг плоских кривых.

Ключевые понятия

Интегральная сумма. Определенный интеграл. Пределы интегрирования. Интегрируемая функция.

Криволинейная трапеция. Формула Ньютона–Лейбница. Теорема о среднем.

1 Определенный интеграл и его геометрический смысл. Основные свойства определенного интеграла

Пусть функция определена на отрезке , . Выполним следующие операции:

1. разобьем отрезок точками на n частичных отрезков ;

2. в каждом из частичных отрезков , выберем произвольную точку и вычислим значение функции в этой точке: ;

3. найдем произведения ,

где – длина частичного отрезка ;

;

4. составим сумму:

, (1)

которая называется интегральной суммой функции y = f(x) на отрезке [а; b]. С геометрической точки зрения, если f (x)  0 на отрезке [а; b], то интегральная сумма представляет собой сумму площадей прямоугольников, основаниями которых являются частичные отрезки , а высоты равны соответственно. Обозначим через длину наибольшего частичного отрезка ;

5. найдем предел интегральной суммы, когда .

Определение 1 Если существует конечный предел интегральной суммы (1) и он не зависит ни от способа разбиения отрезка на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то этот предел называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается .

Таким образом, .

В этом случае функция называется интегрируемой на отрезке . Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, – подынтегральной функцией, – подынтегральным выражением, – переменной интегрирования; отрезок называется промежутком интегрирования.

Теорема 1 Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.