2 Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Замечательные пределы

Определение 5 Функция называется бесконечно малой функцией (б.м.ф.) при , если

Определение 6 Функция называется бесконечно большой функцией (б.б.ф.) при , если для любого числа  можно указать такое число что для всех х, удовлетворяющих условию

, выполняется неравенство .

В этом случае употребляют специальный символ  и пишут . (Если , то . Если , то ).

Пример 4:

а)  функция б.м.ф. при ;

б) функция б.б.ф. при

Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций

1. Сумма и произведение конечного числа б.м.ф. при есть б.м.ф. при .

2. , когда где б.м.ф. при .

3. Если б.б.ф. при то – б.м.ф. при . Если б.м.ф. при , то – б.б.ф. при .

Первый и второй замечательные пределы

Первый замечательный предел:

или . Учитывая, что , имеем также, что или .

Второй замечательный предел:

или .

Рассмотрим на примерах использование замечательных пределов.

Пример 5:

а) , так как ;

б) ,

так как

в) ;

г) (проверить самостоятельно);

д) , так как ;

е) , так как

;

ж)

, так как , .

3 Непрерывность функции в точке и на отрезке. Точки разрыва функции и их классификация

Определение 7 Функция называется непрерывной в точке , если выполнены следующие три условия: 1) функция определена в точке и ее окрестности; 2) существует конечный предел функции в точке ; 3) этот предел равен значению функции в точке , т. е.

. (1)

Так как , то равенство (1) можно записать в виде

. (2)

Это означает, что для непрерывной функции знаки предела и функции можно переставлять.

Определение 8 Функция называется непрерывной в точке , если: 1) функция определена в точке и ее окрестности; 2) существуют конечные односторонние пределы и ; 3) эти пределы равны между собой и равны значению функции в точке , т. е.

. (3)

Сформулируем еще одно определение непрерывности функции, опираясь на понятия приращения аргумента и функции.

Пусть функция определена в точке и ее окрестности. Дадим аргументу приращение . Тогда функция получит приращение :

Определение 9 Функция называется непрерывной в точке , если: 1) функция определена в точке и ее окрестности; 2) бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции:

(4)

Пример 6 Доказать, что функция непрерывна в любой точке области определения, т. е. в любой точке .

Решение. Дадим аргументу приращение в точке и найдем приращение функции :

.

Следовательно,

.

Таким образом, , а это означает, что функция непрерывна в точке .

Пример 7 Исследовать на непрерывность в точке следующие функции: а) ; б)

Решение:

1 Функция определена в окрестности точки , но в самой точке она не определена, следовательно, в этой точке она не является непрерывной (не выполнено первое условие непрерывности).

2 Для исследования на непрерывность воспользуемся определением 2.

В точке функция определена ( ), т. е. первое условие непрерывности выполнено; второе условие также выполняется: ; ; третье условие непрерывности не выполняется, так как . Следовательно, данная функция также не является непрерывной в точке .