Лекция 3 производная функции

План

1 Производная функции, ее геометрический и экономический смысл. Основные правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций.

2 Логарифмическое дифференцирование. Производная неявной функции. Производные высших порядков.

Ключевые понятия

Правила дифференцирования. Производная функции. Уравнение касательной. Уравнение нормали.

Производные суммы, произведения, частного двух функций. Производная сложной функции. Производные высших порядков.

1 Производная функции, ее геометрический и экономический смысл. Основные правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций

Пусть функция f(х) определена в некоторой окрестности точки х₀.

Определение 1 Производной функции f(х) в точке х₀ называется число, обозначаемое f  (х₀) и равное

, (1)

если этот предел существует.

Так как х = х₀ + ∆х, х – х₀ = ∆х, то предел (1) может быть записан в виде

, (2)

т. е. производная функции f(x) в точке х₀ есть предел отношения ее приращения ∆f(х₀) в этой точке к соответствующему приращению аргумента ∆х, когда ∆х стремится к нулю.

Для обозначения производной функции f(x) в точке х₀ используют следующие выражения:

.

Определение 2 Правой производной называется число

. (3)

Аналогично определяется левая производная .

Заметим, что существование производной функции в точке равносильно равенству ее односторонних производных в этой точке.

Пример 1 Используя определение производной, найти для функции f(x) = 4x² – 1.

Решение.

Ответ: = 24.

Пример 2 Найти односторонние производные функции f(x) = | x | в точке х₀ = 0.

Решение:

Таким образом, функция f(x) = | x | в точке х₀ = 0 не имеет производной, так как односторонние производные не совпадают.

Ответ: = 1,

Выясним геометрический смысл производной.

Пусть f(х) – непрерывная функция, определенная в некоторой окрестности точки х₀. Рассмотрим две точки А (х₀; f(х₀)) и В (х₁; f(х₁)), лежащие на графике функции f(х).

Прямая l = АВ называется секущей. Запишем ее уравнение, используя уравнение прямой, заданной двумя точками:

l: .

Выразим из этого уравнения у:

, (4)

где

Пусть точка В стремится к точке А по графику функции f(x). Тогда секущая АВ будет стремиться к некоторому предельному положению. Это предельное положение секущей называется касательной к графику функции f(x) в точке х₀, если существует конечный предел

,

который называется угловым коэффициентом касательной к графику функции f(x) в точке х₀. Из (4) следует, что

(5)

– уравнение касательной к графику f(x) в точке х₀.

Таким образом, ,

где α – угол наклона касательной к положительному направлению оси Ох.

Следовательно, с геометрической точки зрения, производная функции f(x) в точке х₀ численно равна тангенсу угла, образованного касательной к графику функции f(x) в точке х₀ и положительным направлением оси Ох.

Если касательная образует угол 90^о с положительным направлением оси Ох, то будем говорить, что функция имеет в данной точке производную, равную .

Определение 3 Прямая, перпендикулярная к касательной графика функции f(x) в точке , называется нормалью к кривой, определяемой функцией f(x) в точке х₀. Учитывая, что для перпендикулярных прямых k₁k₂ = –1, из уравнения (5) получаем уравнение нормали к графику функции f(x) в точке х₀:

. (6)

Определение 4 Углом φ между двумя кривыми у = f₁(х) и у = f₂(х) в точке их пересечения с абсциссой х₀ назовем угол между касательными к этим кривым, проведенными к ним в этой точке:

. (7)

Выясним теперь экономический смысл производной.

Пусть функция у = f(х) устанавливает зависимость объема выпуска продукции от затрат ресурса х, а ресурс х получает прирост Δх. Тогда будет приращением выпуска продукции, а отношение – средним приращением выпуска продукции на единицу затрат.

Следовательно, производная выражает предельный продукт при затратах х и представляет собой приближенно дополнительный выпуск продукции на единицу дополнительных затрат.

Если функция у = f (t) выражает количество произведенной продукции за время t, то f (t) есть предельная производительность в момент времени t. Аналогичным образом могут быть определены предельные издержки, предельный доход, предельная выручка и т. д.

Отметим, что если функция f(х) имеет производную в точке х₀, то она непрерывна в этой точке. Действительно, так как , то , где = 0 (теорема о связи предела функции и бесконечно малой функции).

Следовательно,

т. е. по необходимому и достаточному условию непрерывности функции в точке х₀ функция f(х) непрерывна в точке х₀.

Определение 5 Операция вычисления производной функции называется дифференцированием.