Лекция 2 предел функции

План

1. Предел функции в точке. Односторонние пределы. Предел функции в бесконечности.

2. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Замечательные пределы.

3. Непрерывность функции в точке и на отрезке. Точки разрыва функции и их классификация.

Ключевые понятия

Предел функции в точке.

Односторонние пределы.

Предел функции в бесконечности.

Бесконечно малые функции.

Бесконечно большие функции.

Первый замечательный предел.

Второй замечательный предел.

Непрерывность функции в точке.

Непрерывность функции на отрезке.

Точки разрыва функции.

Точки разрыва первого рода.

Точки устранимого разрыва.

Точки разрыва второго рода.

1 Предел функции в точке. Односторонние пределы. Предел функции в бесконечности

Предел функции – одно из самых важных понятий высшей математики. С его помощью определяются многие другие математические понятия. Дадим два эквивалентных определения предела функции в точке: определение Коши и определение Гейне.

Определение предела функции в точке по Коши

Определение 1 Число называется пределом функции в точке , если она определена в некоторой проколотой окрестности точки и если для любого сколь угодно малого числа можно указать такое число что для всех х, удовлетворяющих условию

, выполняется неравенство

.

Если предел функции в точке , то это записывают так:

или .

Геометрически данное определение можно изобразить следующим образом:

Таким образом, число будет пределом функции при , если для любой -окрестности точки А найдется такая проколотая -окрестность точки , что для всех х из этой окрестности значение функции попадет в -окрестность точки А.

Определение предела функции в точке по Гейне

Определение 2 Число называется пределом функции в точке , если функция определена в некоторой проколотой окрестности точки и если для любой последовательности , , сходящейся к , соответствующая последовательность значений функции сходится к А при .

Таким образом, по Гейне:

.

Заметим, что свойства предела числовых последовательностей, в силу определения Гейне, автоматически переносятся на предел функции.

Односторонние пределы функции в точке. Назовем левой полуокрестностью точки произвольный интервал а правой полуокрестностью точки – произвольный интервал .

Определение 3 Число А называется пределом функции в точке справа (слева), если функция определена в некоторой правой (левой) полуокрестности точки и если для любой последовательности , , сходящейся к , соответствующая последовательность значений функции сходится к А.

Односторонние пределы обозначают:

– предел справа;

– предел слева.

Заметим, что односторонние пределы могут не совпадать.

Пример 1 Найти пределы функций:

а)

б)

Пример 2 Найти односторонние пределы функции в точке

Предел функции в бесконечности

Рассмотрим случай, когда x  +.

Определение 4 Число называется пределом функции при если

Геометрически это можно изобразить следующим образом:

Аналогично определяется предел функции при .

Пример 3:

а)

б) ;

в)