2 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Определение 10 Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида
|
|
(8) |
,или уравнение вида
|
|
(9) |
.Заметим,
что уравнение (8) можно привести к виду
(9) и наоборот. Действительно, так как
,
то, умножив обе части уравнения на
,
будем иметь:
– уравнение
вида (9).
Далее
будем рассматривать уравнение вида
(9). Для его решения необходимо добиться
того, чтобы при дифференциале
стояли только функции, зависящие от
переменной х,
а при дифференциале
– функции, зависящие от переменной у,
а затем получившееся уравнение с
разделенными переменными можно будет
почленно интегрировать.
Пусть
ни одна из функций
не равна нулю. Тогда, разделив уравнение
(9) на произведение
,
получим уравнение с разделенными
переменными:
|
|
(10) |
,
.Интегрируя (10) почленно, получаем общий интеграл исходного уравнения (9):
|
|
(11) |
.Заметим,
что мы делили уравнение (9) на произведение
,
предполагая, что
,
.
При этом мы могли не учесть другие
решения исходного уравнения.
Непосредственной подстановкой
или
необходимо проверить, будут ли еще
решения уравнения (9) помимо решения
(11).
Пример
3
Решить
уравнение
.
Решение:
.
Таким образом, мы получили уравнение с разделенными переменными. Интегрируя его, получим
– общее
решение данного уравнения.
Заметим:
1)
мы взяли константу С
в виде
,
учитывая вид интегралов;
2)
мы делили на
.
Пусть
теперь
.
Непосредственной подстановкой
убеждаемся, что
– решение исходного уравнения. Но оно
не будет особым решением, так как
получается из общего при
.
Пример 4 Решить задачу Коши
,
.
Решение.
Данное
уравнение есть уравнение вида (9), т. е.
уравнение с разделяющимися переменными.
Непосредственно его интегрировать
нельзя, так как при
стоит функция от у,
а при
– функция от х.
Умножив данное уравнение на
,
получим
|
|
(12) |
.Уравнение (12) – уравнение с разделенными переменными. Следовательно, его можно почленно интегрировать (обратите внимание на выбор вида константы С):
,
х
0 – общее решение исходного ОДУ.
Интегральными кривыми будут окружности
радиуса
с центром в начале координат:
Для
решения задачи Коши необходимо из
бесконечного множества интегральных
кривых найти такую, которая проходит
через точку
.
Для нахождения конкретного значения
С
подставим
в общее решение:
.
Таким
образом, решением задачи Коши будет
функция
,
а соответствующая интегральная
кривая – это окружность радиуса
с центром в начале координат.
3 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Определение 11 Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида
|
|
(13) |
,где 
и
– непрерывные на отрезке
функции.
Определение
12 Если в
уравнении (13) правая часть
,
то оно называется линейным
неоднородным,
если
– линейным
однородным.
Существует несколько методов интегрирования линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Рассмотрим некоторые из них. Сразу отметим, что при решении одного и того же уравнения различными методами мы должны получить один и тот же ответ.