
- •Лекция 1 предел последовательности
- •1 Понятие числовой последовательности. Предел числовой последовательности. Свойства сходящихся числовых последовательностей
- •Свойства сходящихся последовательностей
- •2 Бесконечно большие и бесконечно малые числовые последовательности. Основные способы вычисления пределов
- •Свойства бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей:
- •Основные способы вычисления пределов:
- •Лекция 2 предел функции
- •1 Предел функции в точке. Односторонние пределы. Предел функции в бесконечности
- •2 Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Замечательные пределы
- •Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций
- •Первый и второй замечательные пределы
- •3 Непрерывность функции в точке и на отрезке. Точки разрыва функции и их классификация
- •Свойства функций, непрерывных в точке:
- •Непрерывность функции на отрезке
- •Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •Точки разрыва функции и их классификация
- •Лекция 3 производная функции
- •1 Производная функции, ее геометрический и экономический смысл. Основные правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций
- •Основные правила дифференцирования
- •2 Логарифмическое дифференцирование. Производная неявной функции. Производные высших порядков
- •Лекция 4 правило лопиталя. Дифференциал функции
- •1 Раскрытие неопределенностей при помощи правила Лопиталя
- •2 Дифференциал функции, его геометрический смысл. Применение дифференциала в приближенных вычислениях
- •Лекция 5 исследование функций
- •1 Локальные экстремумы функции. Достаточные условия экстремума функции
- •2 Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точка перегиба
- •3 Асимптоты графика функции
- •4 Общая схема построения графика функции
- •Лекция 6 функции нескольких переменных
- •1 Предел и непрерывность функции двух переменных
- •2 Частные производные первого порядка. Полный дифференциал. Частные производные высших порядков
- •3 Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия существования экстремума
- •Лекция 7 НеоПределенный иНтеграл
- •1 Первообразная и неопределенный интеграл. Таблица основных неопределенных интегралов
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •2 Основные методы интегрирования
- •Лекция 8 НеоПределенный иНтеграл (продолжение)
- •1 Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен
- •2 Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование простейших иррациональных функций
- •Интегрирование простейших иррациональных функций
- •3 Интегрирование тригонометрических функций
- •Лекция 9 оПределенный иНтеграл
- •1 Определенный интеграл и его геометрический смысл. Основные свойства определенного интеграла
- •Геометрический смысл определенного интеграла
- •Основные свойства определенного интеграла
- •Формула Ньютона-Лейбница
- •2 Основные способы вычисления определенного интеграла Замена переменной в определенном интеграле
- •Интегрирование по частям
- •Доказательство
- •3 Вычисление площадей плоских фигур, объемов тел вращения, длин дуг плоских кривых Площадь криволинейной трапеции
- •Объем тела вращения
- •Длина дуги плоской кривой
- •Лекция 10 несобственные интегралы
- •1 Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
- •2 Несобственные интегралы от неограниченных функций
- •Лекция 11 дифференциальные уравнения первого порядка
- •1 Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши
- •2 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •3 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •1 Метод подстановки (метод Бернулли).
- •2 Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа)
- •Лекция 12 дифференциальные уравнения высших порядков
- •1 Интегрирование дифференциальных уравнений высших порядков, допускающих понижение порядка
- •2 Однородные и неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Лекция 13 числовые ряды
- •Числовой ряд. Сходимость. Признаки сходимости
- •1 Определение числового ряда. Сходимость. Основные свойства числовых рядов
- •Основные свойства числовых рядов
- •2 Ряды с положительными членами. Признаки сходимости
- •3 Знакочередующиеся и знакопеременные ряды
- •Лекция 14 степенные ряды
- •Ключевые понятия
- •1 Определение степенного ряда. Теорема Абеля
- •2 Свойства степенных рядов
- •3. Ряды Тейлора, Маклорена для функций
- •Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена
- •Приложения степенных рядов
- •Список литературы
- •Содержание
- •Лекция 13 Числовые ряды………….……………………………………..93
- •Лекция 14 Степенные ряды……………………...……….………………103
- •Список литературы…………..…………….……...………………………..112
- •220086, Минск, ул. Славинского, 1, корп. 3.
2 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Определение 10 Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида
|
(8) |
или уравнение вида
|
(9) |
Заметим,
что уравнение (8) можно привести к виду
(9) и наоборот. Действительно, так как
,
то, умножив обе части уравнения на
,
будем иметь:
– уравнение
вида (9).
Далее
будем рассматривать уравнение вида
(9). Для его решения необходимо добиться
того, чтобы при дифференциале
стояли только функции, зависящие от
переменной х,
а при дифференциале
– функции, зависящие от переменной у,
а затем получившееся уравнение с
разделенными переменными можно будет
почленно интегрировать.
Пусть
ни одна из функций
не равна нулю. Тогда, разделив уравнение
(9) на произведение
,
получим уравнение с разделенными
переменными:
|
(10) |
Интегрируя (10) почленно, получаем общий интеграл исходного уравнения (9):
|
(11) |
Заметим,
что мы делили уравнение (9) на произведение
,
предполагая, что
,
.
При этом мы могли не учесть другие
решения исходного уравнения.
Непосредственной подстановкой
или
необходимо проверить, будут ли еще
решения уравнения (9) помимо решения
(11).
Пример
3
Решить
уравнение
.
Решение:.
Таким образом, мы получили уравнение с разделенными переменными. Интегрируя его, получим
– общее
решение данного уравнения.
Заметим:
1)
мы взяли константу С
в виде
,
учитывая вид интегралов;
2)
мы делили на
.
Пусть
теперь
.
Непосредственной подстановкой
убеждаемся, что
– решение исходного уравнения. Но оно
не будет особым решением, так как
получается из общего при
.
Пример 4 Решить задачу Коши
,
.
Решение.
Данное
уравнение есть уравнение вида (9), т. е.
уравнение с разделяющимися переменными.
Непосредственно его интегрировать
нельзя, так как при
стоит функция от у,
а при
– функция от х.
Умножив данное уравнение на
,
получим
|
(12) |
Уравнение (12) – уравнение с разделенными переменными. Следовательно, его можно почленно интегрировать (обратите внимание на выбор вида константы С):
,
х
0 – общее решение исходного ОДУ.
Интегральными кривыми будут окружности
радиуса
с центром в начале координат:
Для
решения задачи Коши необходимо из
бесконечного множества интегральных
кривых найти такую, которая проходит
через точку
.
Для нахождения конкретного значения
С
подставим
в общее решение:
.
Таким
образом, решением задачи Коши будет
функция
,
а соответствующая интегральная
кривая – это окружность радиуса
с центром в начале координат.
3 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Определение 11 Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида
|
(13) |
где
и
– непрерывные на отрезке
функции.
Определение
12 Если в
уравнении (13) правая часть
,
то оно называется линейным
неоднородным,
если
– линейным
однородным.
Существует несколько методов интегрирования линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Рассмотрим некоторые из них. Сразу отметим, что при решении одного и того же уравнения различными методами мы должны получить один и тот же ответ.