Лекция 8 НеоПределенный иНтеграл (продолжение)

План

1. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен.

2. Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование простейших иррациональных функций.

3. Интегрирование тригонометрических функций.

Ключевые понятия

Многочлен. Рациональная дробь.

Иррациональная функция. Тригонометрическая функция.

1 Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен

Пусть подынтегральная функция содержит квадратный трехчлен (а  0), тогда:

1. Интегралы вида вычисляются следующим образом: из квадратного трехчлена в знаменателе выделим полный квадрат:

где , если и , если .

Далее сделаем подстановку , откуда , . Получим:

.

Последний интеграл является табличным и вычисляется по формулам 15, 16 таблицы основных неопределенных интегралов.

Пример 1 Вычислить интеграл .

Решение. Выделим в знаменателе полный квадрат:

.

Сделаем подстановку . Тогда и

.

Возвращаясь к переменной х, получим

.

2. Интегралы вида также вычисляются путем выделения полного квадрата из квадратного трехчлена и последующей замены переменной. В результате исходный интеграл сводится к одному из табличных интегралов вида 12, 13.

Пример 2 Вычислить интеграл .

Решение. Преобразуем квадратный трехчлен следующим образом: .

Получим .

Положим , тогда , . В результате получаем . Переходя к переменной х, получим

.

3. Интегралы вида и вычисляются путем выделения полного квадрата из квадратного трехчлена и последующей замены переменной.

2 Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование простейших иррациональных функций

Определение. Рациональной дробью называется дробь вида , где и – многочлены от переменной х степени и соответственно.

Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, т.е. , и неправильной – в противном случае ().

Простейшей рациональной дробью называется правильная дробь одного из следующих видов:

1) ; 2) , k  1; 3) ; 4) .

Интегралы от рациональных дробей 1), 2) находятся методом замены переменной:

[положим тогда ] =

[возвращаемся к переменной x] =;

[ ] = [возвращаемся к переменной x] =.

Пример 3 Вычислить интеграл .

Решение: [ сделаем замену ] = .

Интегралы от рациональных дробей 3), 4) вычисляются аналогично интегралам , рассмотренным в п. 1.

Интегрирование простейших иррациональных функций

Интегралы вида , где – рациональная функция; – целые числа, находятся с помощью подстановки , где – наименьшее общее кратное чисел (т.е. n = НОК()).

Пример 4 Вычислить интеграл .

Решение. Данный интеграл можно записать в виде =. Имеем: , следовательно, НОК. Поэтому полагаем , .

Получим: [аналогичный интеграл вычислен в примере 4 лекции 7] = = == [возвращаемся к переменной х: ] = .