2 Основные методы интегрирования
А. Непосредственное интегрирование. Этот метод заключается в непосредственном применении таблицы неопределенных интегралов и свойств неопределенного интеграла. Иногда требуется предварительное преобразование подынтегральной функции.
При непосредственном вычислении неопределенных интегралов часто используются следующие преобразования дифференциала (операция «под-несения под знак дифференциала»):
;
;
;
;
;
;
;
.
В
общем случае:
.
Пример
2
Найти
интеграл
.
Решение. Воспользуемся свойствами 3 и 4 неопределенного интеграла:
.
Находим каждый интеграл, используя формулы 3, 4, 5, 7, 2, 12 таблицы основных неопределенных интегралов:
;
;
;
;
.
В результате имеем:
.
Обозначив
,
окончательно получим:
.
Пример
3 Найти
интеграл
.
Решение.
Для
нахождения данного интеграла воспользуемся
свойством
5
неопределенного интеграла. Так как
,
то
.
Пример
4 Найти
интеграл
.
Решение. Преобразуем подынтегральную функцию:
[делим
почленно числитель на знаменатель]
=
=
.
Тогда исходный интеграл примет вид
.
B.
Метод замены переменной (подстановки).
Пусть
требуется вычислить интеграл
,
который не вычисляется непосредственно.
Сделаем замену переменной
,
где
– дифференцируемая функция. Тогда
и исходный интеграл приобретет вид
.
(1)
Формула
(1) называется формулой
замены переменной в неопределенном
интеграле.
После вычисления интеграла в правой
части этого равенства следует перейти
от новой переменной интегрирования
к исходной переменной
.
Пример
5 Найти
интеграл
.
Решение. Сделаем
замену
,
тогда
,
а
.
Найдем
:
.
Следовательно,
=
.
Возвращаясь к переменной
,
окончательно получаем:
.
Пример
6 Найти
интеграл
.
Решение.
Положим
,
тогда
,
,
.
Таким образом:
.
C.
Метод интегрирования по частям. Пусть
и
– две дифференцируемые функции. По
свойству дифференциала
,
или
.
Интегрируя
обе части последнего равенства и
учитывая, что
,
получаем:
.
(2)
Формула (2) называется формулой интегрирования по частям.
В некоторых случаях для нахождения искомого интеграла формулу интегрирования по частям приходится применять несколько раз.
Большая часть интегралов, вычисляющихся по формуле (2), может быть разбита на три группы:
1 К первой группе относятся интегралы вида
;
;
;
;
;
,
где
– многочлен.
Для
их вычисления следует применить формулу
(2), полагая в ней
равным одной из указанных выше функций:
ln
x,
arcsin
x,
arccos
x
, …, а
.
2 Во вторую группу входят интегралы вида
,
,
,
где
– многочлен;
– некоторое число.
Для
их вычисления следует положить
,
а
,
,
соответственно.
3 К третьей группе относятся интегралы вида
;
;
;
,
где
и
– некоторые числа.
Эти
интегралы вычисляются двукратным
интегрированием по частям, причем за
можно принимать любой из сомножителей.
В результате получим уравнение первого
порядка относительно исходного
интеграла.
Пример
7 Найти
интеграл
.
Решение.
Данный интеграл относится к первой
группе, поэтому полагаем
,
.
Тогда
,
,
(при нахождении
постоянная
=
0). Применяя формулу (2), получаем:
=
=
[интеграл
был вычислен ранее (см. пример 4)] =
,
где
.
Пример
8
Найти
интеграл
.
Решение:
|
|
|
.
Пример
9 Найти
интеграл
.
Решение.
Пусть
,
тогда
,
=
.
Применяя формулу интегрирования по
частям, получим
.
Последний интеграл снова вычисляем
интегрированием по частям, положив
,
откуда найдем
.
Тогда
.
Перенося интеграл из правой части полученного равенства в левую, получаем:
.
Следовательно:
.