2 Частные производные первого порядка. Полный дифференциал. Частные производные высших порядков

Пусть задана функция двух переменных . Дадим аргументу приращение , а аргумент оставим неизменным. Тогда функция получит приращение , которое называется частным приращением по переменной и обозначается :

.

Аналогично, фиксируя аргумент и придавая аргументу приращение , получим частное приращение функции по переменной :

.

Величина называется полным прира-щением функции в точке .

Определение 4 Частной производной функции двух переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению данной переменной, когда последнее стремится к нулю (если этот предел существует).

Обозначается частная производная так: или , или .

Таким образом, по определению 4 имеем:

;

.

Частные производные функции вычисляются по тем же правилам и формулам, что и функция одной переменной, при этом учитывается, что при дифференцировании по переменной , считается постоянной, а при дифференцировании по переменной постоянной считается .

Пример 3 Найти частные производные функций:

1) ; 2) .

Решение:

1 Чтобы найти , считаем постоянной величиной и дифференцируем как функцию одной переменной :

.

Аналогично, считая постоянной величиной, находим :

.

2 ;

.

Определение 5 Полным дифференциалом функции называется сумма произведений частных производных этой функции на приращения соответствующих независимых переменных, т.е.

.

При нефиксированных : , а формулу полного дифференциала можно записать в виде

или .

Пример 4 Найти полный дифференциал функции .

Решение. Так как , то по формуле полного дифференциала находим

.

Частные производные и называют частными производными первого порядка.

Определение 6 Частными производными второго порядка функции называются частные производные от частных производных первого порядка.

Частных производных второго порядка четыре. Они обозначаются следующим образом:

или ; или ;

или ; или .

Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и более высоких порядков. Например, для функции имеем:

; и т. д.

Частные производные второго или более высокого порядка, взятые по различным переменным, называются смешанными частными производными. Для функции таковыми являются производные . Заметим, что в случае, когда смешанные производные непрерывны, то имеет место равенство .

Пример 5 Найти частные производные второго порядка функции .

Решение. Частные производные первого порядка для данной функции найдены в примере 3:

. Дифференцируя и по переменным х и y, получим:

;

;

;

.