Тема 2 Визначники другого і третього порядків та їх властивості

Визначником другого порядку називається число отримане з 4-х розміщених у вигляді таблиці і яке обчислюється за правилом . Числа – називаються елементами визначника. Числа утворюють головну діагональ, а – побічну.

Визначник ще називають детермінантом та позначається , det.

Обчислити :

Розв’язати рівняння:

Визначником 3-го порядку називається число отримане з дев’яти заданих чисел розміщених у вигляді квадратної таблиці, обчислине за правилом:

Для кращого засвоєння порядку обчислення скористуємося схемою(правило трикутника):

Обчислити:

1. 

2)

Основні властивості визначників 3-го порядку

1.Величина визначника не зміниться при заміні відповідних рядків стовпцями (операція транспонування).

2.Знак визначника зміниться на протилежний, якщо в ньому поміняти місцями два його рядки (стовпці).

3.Визначник дорівнює нулю, якщо в ньому співпадають відповідні елементи 2-х рядків (стовпців).

4. Визначник дорівнює нулю, якщо всі елементи одного рядка (стовпця) є нулями.

5.Спільний множник елементів одного рядка (стовпця) можна винести за знак визначника.

6. Якщо елементи одного рядка (стовпця) пропорційні відповідним елементам другого рядка (стовпця), то такий визначник дорівнює нулю.

7. Якщо кожний з елементів рядка (стовпця) визначника є сумою двох доданків, то цей визначник можна подати у вигляді суми відповідних визначників.

8.значення визначника не зміниться якщо до елементів одного рядка (стовпця) додати відповідні елементи другого рядка (стовпця), помножене на одне і те ж число.

Мінори та алгебраїчні доповнення

Мінором елемента (позначається М) визначника 3-го порядку називається визначник 2-го порядку, отриманий з даного визначника , в якому викреслено і-тий рядок і j-тий стовпець на перетині яких розташований елемент .

Наприклад: знайти

Для визначника 2-го порядку мінором є відповідній елемент.

алгебраїчним доповненням елемента називається мазивається відповідний мінор , взяти із знаком , тобто , де і – номер рядка; j – номер стовпця.

Наприклад: знайти

Знаки перед мінорами розподіляються за схемою:

Теорема про розклад визначника

Теорема: визначник дорівнює сумі добутків елементів рядка (стовпця) на їх алгебраїчні доповнення.

(1)

Рівність (1) називають розкладом визначника за елементами першого стовпця.

Наприклад: обчислити визначник за елементами 1-го рядка:

Теорема заміщення

Теорема: сума добутків алгебраїчних доповнень будь якого рядка (стовпця) на довільні числа дорівнює новому визначнику, в якому цими числами заміщені відповідні елементи початкового визначника, що відповідають даним алгебраїчним доповненням.

Теорема анулювання

Теорема: сума добутків елементів одного рядка (стовпця) на алгебраїчні доповнення відповідних елементів іншого рядка (стовпця) дорівняє нулю.

Формули Крамера для СЛАР

Нехай задано систему:

Необхідно знайти X,Y,Z.

Складемо визначник із коефіцієнтів при невідомих

Помножимо кожне з рівнянь відповідно на (алгебраїчні доповнення елементів першого стовпця) і додамо всі три рівності.

за теоремою анулювання коефіцієнт біля Y,Z – дорівнює нулю, а біля X– .

За теоремою заміщення

Отже,

Аналогічно:

Дослідження СЛР (при розв’язку за допомогою визначників)

1. Якщо визначник системи (1) , то система має Розв’язання и при тому єдине, яке може бути знайдене за формулами Крамера.

2. Якщо , але хоча б один з – відмінний від нуля, то система (1) несумісна.

3. Якщо , а , то система має безліч розв’язків.

Наприклад:

Відповідь: (4;1;3)

Однорідні СЛАР

(2)

Якщо визначник однорідної системи (2) відмінний від нуля (), то така система має тільки нульовий розв’язок.

за властивістю 4.

Якщо однорідна система (2) має відмінний від нуля розв’язок, то її визначник дорівнює нулю. ()