5. Задачі на екстремум

У багатьох практичних питаннях, коли ми ставимо задачу ощадливої витрати ресурсів, витрат і т.п., виникають задачі на екстремум. У цьому параграфі ми розглянемо одну задачу такого типу.

Із квадратної жерстини а а, вирізуючи по кутах квадратики металу, потрібно виготовити заготівлю коробки (без верхньої кришки). Які повинні бути розміри квадратів, що вирізують, щоб коробка мала найбільший можливий об'єм (див. мал. 7)?

В позначеннях, наведених на мал. 7, маємо

Знайдемо V'(x)

Знайдемо критичні точки:

Знайдемо найбільше значення функції на [0, ]. Для цього обчислимо V(0), V( ), V( ) і знайдемо найбільше з отриманих чисел

Виходить,

І сторона квадратів, що розріжуть, дорівнює

Контрольні питання й завдання

1. Що означає зростання функції в точці; на проміжку?

2. Запишіть визначення зростання (убування) функції на інтервалі за допомогою мови предикатів і кванторів.

3. Нехай f : - числова функція, причому f -зростаюча функція на кожному . Чи можна затверджувати, що вона зростає на

?

4. Чи може функція мати екстремум у точці перегину?

5.. У чому принципова відмінність вертикальних асимптот від інших?

6. Бляшана консервна банка об'єму V має форму кругового циліндра. Визначите діаметр підстави й висоту банки, при яких вона має найменшу поверхню.