Тема 1 Лінійна алгебра Системи лінійних алгебраїчних рівнянь (слар)

Системою т лінійних рівнянь з п невідомими називається система виду

(1)

Число i =1, 2, …, m ; j= 1, 2,…, n називаються коефіцієнтами, а числа - вільними членами системи (1).

Система рівнянь (1) називається однорідною, якщо всі вільні члени дорівнюють нулю, і неоднорідною, якщо хоча б один із них відмінний від нуля.

У більш короткому запису СЛАР можна записати за допомогою знаків суми

(2)

Розв’язком системи рівнянь називається така сукупність п чисел , при підстановці яких замість невідомих усі рівняння системи перетворюються у тотожність.

Система рівнянь називаються сумісною, якщо вона має хоча б один розв’язок, і несумісною, якщо вона не має жодного розв’язку.

Сумісна система називається визначеною, якщо вона має єдиний розв’язок, тобто існує тільки один набір п чисел , який перетворює всі рівняння системи (1) в тотожність. Сумісна система називається невизначеною, якщо вона має більше ніж один розв’язок.

Наприклад: система рівнянь

сумісна і визначена, так як має єдиний розв’язок (10;0).

Система ­– несумісна

Система ­– сумісна і невизначена, тому що має безліч розв’язків (1;8),(2;6),...,(с;10-2с).

Дві системи лінійних рівнянь називаються еквівалентними, якщо вони мають одну і та ж множину розв’язків. Еквівалентні системи дістають внаслідок елементарних перетворень даної системи

1. переставити місцями рівняння;

2. помножити кожний член рівняння на один і той же відмінний від нуля множник;

3. додати до членів одного рівняння відповідні члени другого рівняння.

Система трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими

Розглянемо тепер систему трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими:

(3)

Розглянемо основні методи розв’язків СЛАР:

1) Метод Гаусса.

Метод Гаусса – метод послідовного виключення змінних – полягає у тому, що за допомогою елементарних перетворень система рівнянь зводиться до рівносильної (еквівалентної) системи східчастого (ступінчатого) або трикутного вигляду, з якої послідовно, починаючи з останніх (за номером) змінних, знаходять всі інші змінні.

Припустимо, що в системі (3) коеф. при змінних у першому рівнянні ≠ 0 (якщо це не так, то перестановкою рівнянь місцями одержимо≠ 0).

1. Помножимо перше рівняння системи (3)на числа –;– та додаючи одержані рівняння відповідно до другого і третього рівняння системи, виключимо зміну із усіх рівнянь системи, починаючи з другого

Одержимо підсистему:

__________________________________

__________________________________

(4)

2. Припустимо ,що . Помножимо друге рівняння системи на число . Додаючи друге і третє рівняння підсистеми (4) виключимо змінну с з третього рівняння підсистеми (4).

__________________________________

Одержимо підсистему:

(5)

Перехід системи (3) до рівносильної системи (5) називається прямим ходом метода Гаусса, а знаходження змінних із системи (5) – зворотнім ходом.

Підставляючи значення в друге рівняння системи з другого рівняння системи (5) знайдемо змінну

Підставляючи значення і в перше рівняння системи (5) знайдемо

Але на практиці зручніше користуватися узагальненим методом Гаусса – методом прямокутника.

Наприклад:

Cкладемо таблицю:

№	X	Y	Z	Вільні члени	Сума	Контроль
1	2	-2	-1	3	2
2	3	4	-5	1	3
3	-5	-4	3	-15	-21
4		14	-7	-7	0	0
5		-18	1	-15	-32	-32
6			-112	-336	-448	-448

Відповідь: (4;1;3)