- •Тема 1 Лінійна алгебра Системи лінійних алгебраїчних рівнянь (слар)
- •Система трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими
- •Тема 2 Визначники другого і третього порядків та їх властивості
- •Основні властивості визначників 3-го порядку
- •Тема 3 Матриці
- •Лінійні дії над матрицями
- •Множення матриць
- •Властивості множення матриць
- •Визначник добутку матриці
- •Обернена матриця
- •Розв’язування слар матричним способом
- •Тема 2 Векторна алгебра Вектори
- •Розклад даного вектора за напрямками на прямій, на площині і в просторі
- •Лінійна залежність і лінійна незалежність системи векторів
- •Декартова прямокутна система координат
- •Лінійні операції над векторами
- •Перехід вектора до нового базису
- •Умова колінеарності двох векторів
- •Поділ відрізка у даному співвідношенні
- •Скалярний добуток векторів
- •Довжина вектора
- •Косинус кута між векторами
- •Умова ортогональності векторів
- •Проекція вектора на вектор
- •Фізичний зміст скалярного добутку
- •Векторний добуток векторів
- •Застосування векторного добутку
- •Мішаний добуток трьох векторів
- •1. Алгебрична форма комплексного числа.
- •2. Тригонометрична форма комплексного числа.
- •3. Показникові форма комплексного числа. Формули Ейлера.
- •4. Деякі застосування комплексних чисел.
- •Похідна функції
- •1. Визначення похідній, її геометричний і механічний зміст
- •Геометричний зміст похідної
- •1.2. Механічний зміст похідної
- •2. Найпростіші правила знаходження похідній
- •2.1. Похідна як функція
- •3. Похідна зворотної функції
- •4. Похідні елементарних функцій (табличні похідні)
- •5. Похідна складної функції (композиції)
- •6. Диференціал
- •6.1. Інваріантість форми диференціала
- •Геометричний зміст диференціала
- •6.3. Диференціал суми, добутку, частки
- •7. Похідні й диференціали вищих порядків
- •7.1. Неінваріантість форми диференціалів більше високого порядку
- •8. Основні теореми про диференційовані на відрізку функції
- •9. Формула тейлора і її застосування
- •Подання основних елементарних функцій по формулі тейлора
- •1. Зростання й убування функції. Екстремуми. Найбільше й найменше . Значення функції
- •1.1. Зростання й убування функції
- •2. Точки екстремуму функції
- •1.3. Найбільше й найменше значення безперервної на відрізку функції
- •2. Опуклість нагору й униз, точки перегину
- •3. Асимптоти кривих
- •4. Дослідження функцій і побудова їхніх графіків
- •5. Задачі на екстремум
Лінійні операції над векторами
До лінійних операцій над векторами відносяться додавання векторів, віднімання векторів та множення вектора на число.
1. При додаванні (відніманні) векторів їх відповідні координати додаються (віднімаються).
Якщо , , тоді .
2. При множенні вектора на число кожна його координата множиться на це число.
Якщо і , тоді .
Перехід вектора до нового базису
Нехай у просторі є два базиси: старий, що утворений векторами і новий, що утворений векторами . Знайдемо залежність між координатами вектора у різних базисах. Нехай у старому базисі вектор має координати і у новому базисі , тоді розклад вектора через вектори і вектори набуде вигляду
. (1)
Кожний з векторів нового базису можна виразити як лінійну комбінацію векторів старого базису
(2)
Перехід до нового базису здійснюється за допомогою матриці переходу
.
Підставимо значення із системи (2) у ліву частину виразу (1), одержимо
(3)
Прирівняємо коефіцієнти біля у лівій і правій частині виразу (3) і одержимо систему
(4)
Представимо систему (4) у матричній формі запису
або . (5)
Приклад: В базисі векторів задано вектори , і . Знайти координати вектора у новому базисі.
Розв’язання. За означенням базису, вектори утворюють базис, якщо вони лінійно незалежні. Перевіримо, чи є вектори лінійно незалежними. Складемо лінійну комбінацію цих векторів
, (6)
(7)
Система (7) є лінійною однорідною, знайдемо розв’язок за допомогою визначників
.
Так як визначник системи відмінний від нуля, то система має єдиний розв’язок .
Як бачимо, лінійна комбінація векторів (6) дорівнює нульовому вектору при умові, що всі коефіцієнти дорівнюють нулю, тому вектори є лінійно незалежними і утворюють базис.
Знайдемо зв’язок між старим і новим базисами. У базисі векторів розклад векторів має вигляд
Матриця переходу .
Координати вектора у новому базисі, що утворений системою векторів визначаються за формулою (5)
Знайдемо обернену матрицю до матриці переходу .
Значить координати вектора у базисі векторів мають вигляд
а його розклад .
Умова колінеарності двох векторів
Умовою колінеарності двох векторів є пропорційність їх відповідних координат. Якщо , координати векторів і , тоді за умовою колінеарності
.
Приклад: Перевірити, чи є вектори і колінеарними.
Розв’язання
За умовою колінеарності двох векторів або після скорочення
. Значить .