Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Kurs_lektsiy.doc
Скачиваний:
28
Добавлен:
09.11.2018
Размер:
3.07 Mб
Скачать

9. Формула тейлора і її застосування

У цьому параграфі ми продовжимо вивчення поводження функції в околиці крапки в припущенні, що в ній функція має похідні до порядку до(>1) включно. Випадок до = 1 уже розглянутий у параграфі 1, де було показано, що якщо функція f(х) диференційована в точці х0, то існує околиця крапки хо, у якій виконане рівність (1)

яке може бути записане у вигляді

(47)

Помітимо, що в правій частині формули (47) вираження являє собою багаточлен першого ступеня змінної х, тобто вираження багаточлен першого ступеня, що апроксимує функцію f(х) у деякій околиці крапки хо з точністю до доданка, що має порядок малості .

В випадку, коли функція має похідні в точці хо більше високого порядку, її можна апроксимувати з більше високою точністю багаточленом більше високого ступеня. Сказане і являє собою зміст наступної теореми - теореми про формулу Тейлора із залишковим членом у формі Пеано.

ТЕОРЕМА 20

Нехай f : X → Y, X, Y З R, x0 X, і існує δ0 > 0 таке, що:

  1. s(xo, δ0) c X;

  2. в околиці s(xo, δ0) функція f диференційована до порядку n, n≥1 включно.

Тоді справедлива формула

(48)

Останній доданок у правій частині (48) називається залишковим членом формули Тейлора, а інші доданки утворять багаточлен Тейлора порядку n

Нехай

Ясно, що мають місце нерівності

(49)

Обчисли межу наступного вираження:

Чисельник і знаменник останнього вираження задовольняють умовам теореми 18' (Правило Лопіталя), тоді

З рівностей (49) треба, що отримане під знаком межі відношення знову задовольняє умовам теореми 18', і значить

З (49) треба, що отримане під знаком межі відношення знову задовольняє умовам теореми 18'. Ясно, що зі співвідношень (49) треба можливість послідовно п раз застосувати правило Лопіталя (теорема 18'). Проробивши це, ми одержуємо

У випадку, коли функція f має в деякої δ0-околиці, δ0> 0 крапки x0 похідні до порядку п +1 включно, ми можемо одержати у формулі Тейлора іншу форму залишкового члена. Нижче наведена теорема, що дає формулу Тейлором із залишковим членом у формі Лагранжа.

ТЕОРЕМА 21

Нехай f : X → Y, X, Y З R, x0 X, і існує δ0 > 0 таке, що:

  1. s(xo, δ0) c X;

  2. в околиці s(xo, δ0) функція f диференційована до порядку n, n≥1 включно.

Тоді справедлива формула

(50)

Нехай

Помножимо й розділимо на , тоді

(51)

Утворимо тепер функцію змінної t за наступним правилом:

(52)

Ясно, що

  1. функція F(t) диференційована по t на [х0:х];

  2. F(xo) = F(x) = 0.

Тоді вона задовольняє умовам теореми Ролля (теорема 28), і виходить, існує така точка з о;х), у якій

(53)

Знайдемо з (52) вираження для :

Підставляючи отримане вираження для F' в (53), одержуємо

(54)

З (51) ми маємо

Тоді рівність (54) дозволяє одержати, що

(55)

с о0)

Отримана формула для залишкового члена дозволяє в деяких випадках зробити оцінку апроксимації функції f багаточленом Тейлора не тільки локально в точці х0, але й на проміжку.

Допустимо, що функція f має в s(xo, δ0), δ0 > 0 похідні до порядку n+1 включно й для кожного , тоді має місце оцінка

(56)

або, що те ж саме

(57)

для будь-якого

ПРИКЛАД 6. Представити функцію f(x)= х3 у точці х0 = 1 у вигляді (48) і (50) при n = 2, 3.

Знайдемо f'(x), f''(x).....

При n = 2 маємо

Тут враховано, що для кожного с.

Помітимо, що друга формула вже при п = 2 перетворилася в тотожність. При п = 3 маємо

а використовуючи формулу Тейлора із залишковим членом у формі Лагранжа, маємо

Ясно, що для будь-якого п≥ 3 ми будемо мати

якщо застосовувати формулу Тейлора із залишковим членом у формі Пеано, і

якщо застосовувати формулу Тейлора із залишковим членом у формі Лагранжа.

Висновок: Якщо f(x) -багаточлен n-й ступеня, то для будь-якої крапки хо € R мають місце рівності

(58),

(59)

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]