- •Тема 1 Лінійна алгебра Системи лінійних алгебраїчних рівнянь (слар)
- •Система трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими
- •Тема 2 Визначники другого і третього порядків та їх властивості
- •Основні властивості визначників 3-го порядку
- •Тема 3 Матриці
- •Лінійні дії над матрицями
- •Множення матриць
- •Властивості множення матриць
- •Визначник добутку матриці
- •Обернена матриця
- •Розв’язування слар матричним способом
- •Тема 2 Векторна алгебра Вектори
- •Розклад даного вектора за напрямками на прямій, на площині і в просторі
- •Лінійна залежність і лінійна незалежність системи векторів
- •Декартова прямокутна система координат
- •Лінійні операції над векторами
- •Перехід вектора до нового базису
- •Умова колінеарності двох векторів
- •Поділ відрізка у даному співвідношенні
- •Скалярний добуток векторів
- •Довжина вектора
- •Косинус кута між векторами
- •Умова ортогональності векторів
- •Проекція вектора на вектор
- •Фізичний зміст скалярного добутку
- •Векторний добуток векторів
- •Застосування векторного добутку
- •Мішаний добуток трьох векторів
- •1. Алгебрична форма комплексного числа.
- •2. Тригонометрична форма комплексного числа.
- •3. Показникові форма комплексного числа. Формули Ейлера.
- •4. Деякі застосування комплексних чисел.
- •Похідна функції
- •1. Визначення похідній, її геометричний і механічний зміст
- •Геометричний зміст похідної
- •1.2. Механічний зміст похідної
- •2. Найпростіші правила знаходження похідній
- •2.1. Похідна як функція
- •3. Похідна зворотної функції
- •4. Похідні елементарних функцій (табличні похідні)
- •5. Похідна складної функції (композиції)
- •6. Диференціал
- •6.1. Інваріантість форми диференціала
- •Геометричний зміст диференціала
- •6.3. Диференціал суми, добутку, частки
- •7. Похідні й диференціали вищих порядків
- •7.1. Неінваріантість форми диференціалів більше високого порядку
- •8. Основні теореми про диференційовані на відрізку функції
- •9. Формула тейлора і її застосування
- •Подання основних елементарних функцій по формулі тейлора
- •1. Зростання й убування функції. Екстремуми. Найбільше й найменше . Значення функції
- •1.1. Зростання й убування функції
- •2. Точки екстремуму функції
- •1.3. Найбільше й найменше значення безперервної на відрізку функції
- •2. Опуклість нагору й униз, точки перегину
- •3. Асимптоти кривих
- •4. Дослідження функцій і побудова їхніх графіків
- •5. Задачі на екстремум
9. Формула тейлора і її застосування
У цьому параграфі ми продовжимо вивчення поводження функції в околиці крапки в припущенні, що в ній функція має похідні до порядку до(>1) включно. Випадок до = 1 уже розглянутий у параграфі 1, де було показано, що якщо функція f(х) диференційована в точці х0, то існує околиця крапки хо, у якій виконане рівність (1)
яке може бути записане у вигляді
(47)
Помітимо, що в правій частині формули (47) вираження являє собою багаточлен першого ступеня змінної х, тобто вираження — багаточлен першого ступеня, що апроксимує функцію f(х) у деякій околиці крапки хо з точністю до доданка, що має порядок малості .
В випадку, коли функція має похідні в точці хо більше високого порядку, її можна апроксимувати з більше високою точністю багаточленом більше високого ступеня. Сказане і являє собою зміст наступної теореми - теореми про формулу Тейлора із залишковим членом у формі Пеано.
ТЕОРЕМА 20
Нехай f : X → Y, X, Y З R, x0 € X, і існує δ0 > 0 таке, що:
-
s(xo, δ0) c X;
-
в околиці s(xo, δ0) функція f диференційована до порядку n, n≥1 включно.
Тоді справедлива формула
(48)
Останній доданок у правій частині (48) називається залишковим членом формули Тейлора, а інші доданки утворять багаточлен Тейлора порядку n
Нехай
Ясно, що мають місце нерівності
(49)
Обчисли межу наступного вираження:
Чисельник і знаменник останнього вираження задовольняють умовам теореми 18' (Правило Лопіталя), тоді
З рівностей (49) треба, що отримане під знаком межі відношення знову задовольняє умовам теореми 18', і значить
З (49) треба, що отримане під знаком межі відношення знову задовольняє умовам теореми 18'. Ясно, що зі співвідношень (49) треба можливість послідовно п раз застосувати правило Лопіталя (теорема 18'). Проробивши це, ми одержуємо
У випадку, коли функція f має в деякої δ0-околиці, δ0> 0 крапки x0 похідні до порядку п +1 включно, ми можемо одержати у формулі Тейлора іншу форму залишкового члена. Нижче наведена теорема, що дає формулу Тейлором із залишковим членом у формі Лагранжа.
ТЕОРЕМА 21
Нехай f : X → Y, X, Y З R, x0 € X, і існує δ0 > 0 таке, що:
-
s(xo, δ0) c X;
-
в околиці s(xo, δ0) функція f диференційована до порядку n, n≥1 включно.
Тоді справедлива формула
(50)
Нехай
Помножимо й розділимо на , тоді
(51)
Утворимо тепер функцію змінної t за наступним правилом:
(52)
Ясно, що
-
функція F(t) диференційована по t на [х0:х];
-
F(xo) = F(x) = 0.
Тоді вона задовольняє умовам теореми Ролля (теорема 28), і виходить, існує така точка з € (хо;х), у якій
(53)
Знайдемо з (52) вираження для :
Підставляючи отримане вираження для F' в (53), одержуємо
(54)
З (51) ми маємо
Тоді рівність (54) дозволяє одержати, що
(55)
с € (хо;δ0)
Отримана формула для залишкового члена дозволяє в деяких випадках зробити оцінку апроксимації функції f багаточленом Тейлора не тільки локально в точці х0, але й на проміжку.
Допустимо, що функція f має в s(xo, δ0), δ0 > 0 похідні до порядку n+1 включно й для кожного , тоді має місце оцінка
(56)
або, що те ж саме
(57)
для будь-якого
ПРИКЛАД 6. Представити функцію f(x)= х3 у точці х0 = 1 у вигляді (48) і (50) при n = 2, 3.
Знайдемо f'(x), f''(x).....
При n = 2 маємо
Тут враховано, що для кожного с.
Помітимо, що друга формула вже при п = 2 перетворилася в тотожність. При п = 3 маємо
а використовуючи формулу Тейлора із залишковим членом у формі Лагранжа, маємо
Ясно, що для будь-якого п≥ 3 ми будемо мати
якщо застосовувати формулу Тейлора із залишковим членом у формі Пеано, і
якщо застосовувати формулу Тейлора із залишковим членом у формі Лагранжа.
Висновок: Якщо f(x) -багаточлен n-й ступеня, то для будь-якої крапки хо € R мають місце рівності
(58),
(59)