- •Тема 1 Лінійна алгебра Системи лінійних алгебраїчних рівнянь (слар)
- •Система трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими
- •Тема 2 Визначники другого і третього порядків та їх властивості
- •Основні властивості визначників 3-го порядку
- •Тема 3 Матриці
- •Лінійні дії над матрицями
- •Множення матриць
- •Властивості множення матриць
- •Визначник добутку матриці
- •Обернена матриця
- •Розв’язування слар матричним способом
- •Тема 2 Векторна алгебра Вектори
- •Розклад даного вектора за напрямками на прямій, на площині і в просторі
- •Лінійна залежність і лінійна незалежність системи векторів
- •Декартова прямокутна система координат
- •Лінійні операції над векторами
- •Перехід вектора до нового базису
- •Умова колінеарності двох векторів
- •Поділ відрізка у даному співвідношенні
- •Скалярний добуток векторів
- •Довжина вектора
- •Косинус кута між векторами
- •Умова ортогональності векторів
- •Проекція вектора на вектор
- •Фізичний зміст скалярного добутку
- •Векторний добуток векторів
- •Застосування векторного добутку
- •Мішаний добуток трьох векторів
- •1. Алгебрична форма комплексного числа.
- •2. Тригонометрична форма комплексного числа.
- •3. Показникові форма комплексного числа. Формули Ейлера.
- •4. Деякі застосування комплексних чисел.
- •Похідна функції
- •1. Визначення похідній, її геометричний і механічний зміст
- •Геометричний зміст похідної
- •1.2. Механічний зміст похідної
- •2. Найпростіші правила знаходження похідній
- •2.1. Похідна як функція
- •3. Похідна зворотної функції
- •4. Похідні елементарних функцій (табличні похідні)
- •5. Похідна складної функції (композиції)
- •6. Диференціал
- •6.1. Інваріантість форми диференціала
- •Геометричний зміст диференціала
- •6.3. Диференціал суми, добутку, частки
- •7. Похідні й диференціали вищих порядків
- •7.1. Неінваріантість форми диференціалів більше високого порядку
- •8. Основні теореми про диференційовані на відрізку функції
- •9. Формула тейлора і її застосування
- •Подання основних елементарних функцій по формулі тейлора
- •1. Зростання й убування функції. Екстремуми. Найбільше й найменше . Значення функції
- •1.1. Зростання й убування функції
- •2. Точки екстремуму функції
- •1.3. Найбільше й найменше значення безперервної на відрізку функції
- •2. Опуклість нагору й униз, точки перегину
- •3. Асимптоти кривих
- •4. Дослідження функцій і побудова їхніх графіків
- •5. Задачі на екстремум
Визначник добутку матриці
Теорема: визначник добутку двох квадратних матриць n-го порядку дорівнює добутку їх визначників, тобто
Перевіримо для матриць другого порядку
Обернена матриця
Означення: Матриця А називається неособливою (не виродженою), якщо її визначник відмінний від нуля, тобто . Якщо , тоді матриця називається особливою (виродженою).
Означення: Квадратна матриця називається оберненою до матриці А, якщо виконується рівність
,
де Е – одинична матриця.
Алгоритм знаходження оберненої матриці
1. Обернена матриця існує тільки до квадратної невиродженої матриці , тому обчислюємо визначник матриці і впевнюємося, що .
2. Знайдемо алгебраїчні доповнення до елементів матриці А за формулою і складемо матрицю , елементами якої є алгебраїчні доповнення
.
3. Знайдемо матрицю транспоновану до матриці , для цього поміняємо рядки та стовпці місцями
.
4. Знайдемо обернену матрицю за формулою .
.
5. Зробимо перевірку .
Приклад: Знайти матрицю , обернену до матриці
1.
Матриця А є невиродженою, тому існує матриця обернена до матриці А.
2. Знайдемо алгебраїчні доповнення до елементів матриці А.
Складемо матрицю , елементами якої є алгебраїчні доповнення
.
3. Знайдемо матрицю транспоновану до матриці
.
4. Знайдемо обернену матрицю
5. Зробимо перевірку
.
Розв’язування слар матричним способом
Розглянемо розв’язування СЛАР матричним способом на прикладі системи
Складемо матрицю системи , матрицю-стовпець вільних членів і матрицю-стовпець невідомих .
Знайдемо добуток матриць
.
Домножимо обидві частини виразу на і одержимо
,
Враховуючи, що , маємо
Приклад: Розв’язати систему лінійних рівнянь матричним способом
Складемо матриці ; ; .
Знайдемо за вищевикладеним алгоритмом матрицю, обернену до матриці А
.
За формулою знайдемо розв’язок СЛАР
.
Відповідь:
Тема 2 Векторна алгебра Вектори
Означення: Вектором називається направлений відрізок з початком у точці А і кінцем у точці В.
Довжиною або модулем вектора називається число , яке дорівнює довжині відрізка АВ, який є зображенням вектора .
Вектори, що лежать на одній прямій або на паралельних прямих, називаються колінеарними.
Вектори, що належать одній і тій же площині або паралельним площинам, називаються компланарними.
Якщо початок вектора і його кінець співпадають, тобто маємо вектор , то такий вектор називається нульовим і позначається , а його модуль .
Рівними називаються два вектори, якщо вони задовольняють умовам:
1) вони є колінеарними;
2) їх модулі є рівними;
3) вони є співнапрямленими , .
Якщо і вектори є протилежно напрямленими , тоді вектори і називаються протилежними.
Вектор, модуль якого дорівнює одиниці називається одиничним або ортом і позначається , .