Поділ відрізка у даному співвідношенні

Нехай відомі координати точок і , які є кінцями відрізка . Необхідно знайти координати точки , що ділить відрізок у заданому співвідношенні .

Співвідношення .

Знайдемо координати векторів та , які належать відрізку і є колінеарними. Із умови колінеарності векторів випливає

Після елементарних перетворень одержуємо

Аналогічно одержуємо

Приклад: Відрізок поділили на три рівні частини. Знайти координати точок поділу відрізка і , якщо і .

Розв’язання

Для точки : (один відрізок до точки і два після), тому

Отже,

Для точки : (два відрізка до точки і один після), тому

Значить

Скалярний добуток векторів

Означення: Скалярним добутком векторів двох векторів і називається число, що дорівнює добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними

. (9)

Основні властивості скалярного добутку

1. Комутативний закон .

2. Числовий множник можна виносити за знак скалярного добутку

.

3. Дистрибутивний закон .

4. Скалярний добуток двох векторів і дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли один із них є нульовим вектором або ці вектори є ортогональними.

Таблиця скалярного множення ортів

Тобто, скалярний добуток однойменних ортів дорівнює одиниці, а різнойменних – нулю (див. формулу (9)).

Скалярний добуток векторів у координатній формі

Як правило кут між векторами є невідомим, тому користуватися формулою (9) недоцільно. Частіше вектори задані своїми координатами. Нехай вектори задано розкладом за ортами, тобто і . Тоді

Враховуючи правило множення орт, одержуємо

. (10)

Приклад: Знайти скалярний добуток векторів і .

Розв’язання

За формулою (10) одержуємо

Довжина вектора

Для доведення формули довжини вектора, введемо поняття скалярного квадрату: скалярним квадратом (позначається ) називається скалярний добуток вектора самого на себе, тобто .

За формулою (10)

Звідси одержуємо формулу довжини вектора

(11)

Косинус кута між векторами

Із формули (9) знайдемо косинус кута між векторами і

. (12)

З урахуванням формул (10) і (11), формула кута між векторами набуде вигляду

. (13)

Приклад: знайти кут між векторами і

Розв’язання

За формулою (13)