2.2. Приклад виконання лабораторної роботи №2
Задані результати дослідів: (x,y):
-
Знайти коефіцієнти зазначеної залежності методом найменших квадратів.
-
Знайти відхилення даних точок від знайденої залежності.
-
Побудувати графік, застосовує Excel .
-
Знайти коефіцієнти зазначеної залежності, застосовуючи Excel (команда «Пошук рішення»).
|
x |
-1,8 |
0,4 |
0,6 |
2 |
2,9 |
|
y |
1,6 |
1 |
0,8 |
0,6 |
0,5 |
-
Побудуємо лінійну модель у = ах+в
1) Знайдемо коефіцієнти зазначеної залежності методом найменших
квадратів.Треба за зазначеною формулою у = ах+в підібрати коефіцієнти
модели а і в
Побудуємо таблицу:
|
n |
x |
x2 |
y |
xy |
|
1 |
-1.8 |
3.24 |
1.6 |
-2.88 |
|
2 |
0.4 |
0.16 |
1 |
0.4 |
|
3 |
0.6 |
0.36 |
0.8 |
0.48 |
|
4 |
2 |
4 |
0.6 |
1.2 |
|
5 |
2.9 |
8.41 |
0.5 |
1.45 |
|
|
4.1 |
16.17 |
4.5 |
0.65 |
Отримуємо систему
16.17 а + 4.1 в = 0.65
4.1 а + 5 в = 4.5
Вирішуючи систему, знайдемо а і в.
Виразимо коефіцієнт в з 2-го рівняння системи
в
=
Підставимо в у перше рівняння. Розкриємо дужки й приведемо подібні члени. Отримуємо
16.17а+4.1(0.9-0.82а) = 0.65 ,
Знайдемо коефіцієнти:
,
1.09457
Зазначена залежність
у = - 0.23728 х + 1. 09457
2) Знайдемо відхилення даних точок від знайденої залежності
|
вихідні дані |
результат |
||
|
х |
Утаб |
Урас |
Відхил |
|
-1.8 |
1.6 |
1.521861 |
0.006106 |
|
0.4 |
1 |
0.999688 |
9.75E-08 |
|
0.6 |
0.8 |
0.952217 |
0.02317 |
|
2 |
0.6 |
0.619925 |
0.000397 |
|
2.9 |
0.5 |
0.406309 |
0.008778 |
|
|
|
|
0.038451 |
Урас визначаються по моделі шляхом підстановки табличних значень із першого стовпця замість х
Урас1 = - 0.23728 (-1.8) + 1. 09457 = 1.521861
………………………………………………….
Урас5 = - 0.23728 (0.5) + 1. 09457 = 0.406309
Відхилення:
Відхил1 =( Утаб1 - Урас1)2 = 0.006106
...........................................................................
Відхил5 =( Утаб5 - Урас5)2 =0.008778
Використання Excel для разв'язку лабораторної роботи №2
(лінійна модель у = ах+в )
Побудуємо таблицю:
|
х |
Утаб |
x*x |
x*y |
Урозр |
Відхілення |
|
-1,8 |
1,6 |
3,24 |
-2,88 |
1,5218613 |
0,006106 |
|
0,4 |
1 |
0,16 |
0,4 |
0,9996877 |
9,75E-08 |
|
0,6 |
0,8 |
0,36 |
0,48 |
0,9522174 |
0,02317 |
|
2 |
0,6 |
4 |
1,2 |
0,6199251 |
0,000397 |
|
2,9 |
0,5 |
8,41 |
1,45 |
0,4063086 |
0,008778 |
|
4,1 |
4,5 |
16,17 |
0,65 |
|
0,038451 |
3) Побудуємо графік, застосовує Excel
-
Знайти коефіцієнти зазначеної залежності, застосовуючи Excel (команда «Пошук рішення»).
Начальні значення коефіцієнтів
|
а= |
1 |
|
в= |
1 |
Отримані значення
|
а= |
-0,23735 |
|
||||
|
в= |
1,094628 |
|
||||
|
Отчет создан: 05.11.2007 14:13:03 |
|
|||||
|
Целевая ячейка (Минимум) |
|
|||||
|
|
Ячейка |
Имя |
Исходное значение |
Результат |
||
|
|
$J$15 |
Отклонения |
23,88 |
0,038450968 |
||
|
Изменяемые ячейки |
|
|
||||
|
|
Ячейка |
Имя |
Исходное значение |
Результат |
||
|
|
$H$1 |
а |
1 |
-0,23735163 |
||
|
|
$H$2 |
в |
1 |
1,09462834 |
||
-
Побудуємо квадратичну модель у = ах2+вх+с
1) Знайдемо коефіцієнти зазначеної залежності методом найменших
квадратів. Треба за зазначеною формулою у = ах2+вх+с підібрати
коефіцієнти модели а , в ,с.
Побудуємо таблицю:
|
n |
x |
x2 |
y |
xy |
х3 |
х4 |
уx2 |
|
1 |
-1.8 |
3.24 |
1.6 |
-2.88 |
-5.832 |
10.4976 |
5.184 |
|
2 |
0.4 |
0.16 |
1 |
0.4 |
0.064 |
0,0256 |
0.16 |
|
3 |
0.6 |
0.36 |
0.8 |
0.48 |
0.216 |
0.1296 |
0.288 |
|
4 |
2 |
4 |
0.6 |
1.2 |
8 |
16 |
2.4 |
|
5 |
2.9 |
8.41 |
0.5 |
1.45 |
24.389 |
70.728 |
4.205 |
|
|
4.1 |
16.17 |
4.5 |
0.65 |
26.837 |
97.3809 |
12.237 |
Отримуємо систему
97.3809 а + 26.837 в + 16.17 с = 12.237
26.8374.1 а + 16.17 в + 4.1 с = 0.65
16.17 а +4.1 в +5 с =4.5
Виразимо коефіцієнт с з 3-го рівняння системи,
с = 0.9 – 3.234 а – 0.82 в
Підставимо с у перше й друге рівняння. Розкриємо дужки й приведемо подібні члени. Отримуємо систему :
45.08712 а + 13.5776 в = - 2.316
13.5776 а + 12.808 в = - 3.04
с = 0.9 – 3.234 а – 0.82 в
Виразимо коефіцієнт а з 1-его рівняння системи
а = - 0.30114 в – 0.05143
Підставимо а у друге рівняння. Розкриємо дужки й приведемо подібні члени. Отримуємо систему :
8.579936 в = - 2.341704
а = - 0.30114 в – 0.05143
с = 0.9 – 3.234 а – 0.82 в
Знайдемо коефіцієнти:
в = - 0.272928
а = - 0,30114. (- 0.272928 ) – 0.05143 = 0.03076
с = 0.9 – 3.234 . 0.03076 – 0.82 . (- 0.272928 )= 1.02432
Зазначена залежність
у = 0.03076х2- 0.272928х+1.02432
2) Знайти відхилення даних точок от знайденої залежності
|
вихідні дані |
результат |
||
|
х |
Утаб |
Урас |
Відхил |
|
-1.8 |
1.6 |
1.615425 |
0.00158 |
|
0.4 |
1 |
0.99607 |
0.002789 |
|
0.6 |
0.8 |
0.87562 |
0.003527 |
|
2 |
0.6 |
0.602714 |
0.0001287 |
|
2.9 |
0.5 |
0.49458 |
0.0005741 |
|
|
|
|
0.086008 |
Урас визначаються по моделі шляхом підстановки табличних значень із першого стовпця замість х
Урас1 = 0.03076(-1.8)2- 0.272928(-1.8)+1.02432 =1.615425 ………………………………………………….
Урас 5 = 0.03076 (0.4)2- 0.272928(0.4)+1.02432 =0.99607
Відхилення:
Відхил 1 = ( Утаб1 - Урас1)2 =0.00158
...........................................................................
Відхил 5 = ( Утаб5 - Урас5)2 =0.0005741
Використання Excel для разв’язку лабораторної роботи №2
(квадратична модель у = ах2+вх+с )
Побудуємо таблицю:
|
х |
Утаб |
x*x |
x*x*x |
x*x*x*x |
x*y |
x*x*y |
Урас |
Відхил |
|
|
-1,8 |
1,6 |
3,24 |
-5,832 |
10,4976 |
-2,88 |
5,184 |
1,615253 |
0,000233 |
|
|
0,4 |
1 |
0,16 |
0,064 |
0,0256 |
0,4 |
0,16 |
0,92007 |
0,006389 |
|
|
0,6 |
0,8 |
0,36 |
0,216 |
0,1296 |
0,48 |
0,288 |
0,871637 |
0,005132 |
|
|
2 |
0,6 |
4 |
8 |
16 |
1,2 |
2,4 |
0,601504 |
2,26E-06 |
|
|
2,9 |
0,5 |
8,41 |
24,389 |
70,7281 |
1,45 |
4,205 |
0,49152 |
7,19E-05 |
|
|
4,1 |
4,5 |
16,17 |
26,837 |
97,3809 |
0,65 |
12,24 |
|
0,011827 |
|
3) Побудуємо графік, застосовуючи Excel
4) Знайдемо коефіцієнти зазначеної залежності, застосовуючи Excel (команда «Пошук рішення»).
Начальні значення коефіцієнтів
|
а= |
1 |
|
в= |
1 |
|
с= |
1 |
Отримані значення
|
а= |
0.029539125 |
|
в= |
-0.268665784 |
|
с= |
1,024776224 |
|
Microsoft Excel 10.0 Отчет по результатам |
|
|||
|
Рабочий лист: [метод наим.квад.xls]Лист1 |
|
|||
|
Отчет создан: 18.09.2009 14:27:14 |
|
|||
|
Целевая ячейка (Минимум) |
|
|
||
|
|
Ячейка |
Имя |
Исходное значение |
Результат |
|
|
$J$180 |
cymma: Отклонения |
182,8009 |
0,011668809 |
|
Изменяемые ячейки |
|
|
||
|
|
Ячейка |
Имя |
Исходное значение |
Результат |
|
|
$F$183 |
a= |
1 |
0,029539125 |
|
|
$F$184 |
b= |
1 |
-0,268665784 |
|
|
$F$185 |
с= |
1 |
1,024776224 |
|
Ограничения |
|
|
||
|
|
НЕТ |
|
|
|
3. Побудуємо експонентну модель у = в еа х
1) Знайдемо коефіцієнти зазначеної залежності методом найменших
квадратів.Треба за зазначеною формулою у = в еа х підібрати коефіцієнти
модели а і в
Побудуємо таблицю:
|
n |
x |
x2 |
y |
У=LN(y) |
xУ |
|
1 |
-1.8 |
3.24 |
1.6 |
0.470004 |
-0.84007 |
|
2 |
0.4 |
0.16 |
1 |
0 |
0 |
|
3 |
0.6 |
0.36 |
0.8 |
-0.22314 |
-0.133886 |
|
4 |
2 |
4 |
0.6 |
-0.51083 |
-1.021651 |
|
5 |
2.9 |
8.41 |
0.5 |
-0.69315 |
-2.010127 |
|
|
4.1 |
16.17 |
- |
-0.95711 |
-4.011671 |
Отримуємо систему
16.17 А + 4.1 В = -4.01167
4.1 А + 5 В= -0.95711
Вирішуючи систему рівнянь, знайдемо А та В.
Виразимо коефіцієнт В з 2-го рівняння системи
Підставимо В у перше рівняння. Розкриємо дужки й приведемо подібні члени. Отримуємо
16.17 А + 4.1 (-0191422 - 0.82А) = - 4.01167 ,
Знайдемо коефіцієнти:
,
В
Вертаючись до вихідних коефіцієнтів , одержимо
а
= А =
,
в = еВ
=
е0.15168
=1.163788
Зазначена залежність
у = 1.163788. е- 0.251939 х
2) Знайти відхилення даних точок от знайденої залежності
|
вихідні дані |
результат |
||
|
х |
Утаб |
Урас |
Відхил |
|
-1.8 |
1.6 |
1.83156 |
0.053622 |
|
0.4 |
1 |
1.05222 |
0.002727 |
|
0.6 |
0.8 |
1.00052 |
0.040207 |
|
2 |
0.6 |
0.70314 |
0.010638 |
|
2.9 |
0.5 |
0.56049 |
0.003659 |
|
|
|
|
0.11853 |
Урас визначаються по моделі шляхом підстановки табличних значень із першого стовпця замість х
Урас1=1.163788. е- 0.251939 .(-1.8) =1.83156
………………………………………………….
Урас5=1.163788. е- 0.251939 . 2.9 =0.56049
Відхилення:
Відхил1=( Утаб1 - Урас1)2 =0.053622
...........................................................................
Відхил5=( Утаб5 - Урас5)2 =0.003659
Використання Excel для развязку лабораторної роботи №2
(експонентна модель у = в еа х)
Побудуємо таблицю:
|
х |
Утаб |
x*x |
Ln(Утаб) |
x*y |
Урас |
Відхил |
|
|
-1,8 |
1,6 |
3,24 |
0,470003629 |
-0,846007 |
1,597762 |
5,00696E-06 |
|
|
0,4 |
1 |
0,16 |
0 |
0 |
0,917983 |
0,006726707 |
|
|
0,6 |
0,8 |
0,36 |
-0,223143551 |
-0,133886 |
0,872881 |
0,005311663 |
|
|
2 |
0,6 |
4 |
-0,510825624 |
-1,021651 |
0,613475 |
0,000181574 |
|
|
2,9 |
0,5 |
8,41 |
-0,693147181 |
-2,010127 |
0,489033 |
0,000120281 |
|
|
4,1 |
4,5 |
16,17 |
-0,957112726 |
-4,011671 |
|
0,012345232 |
|
-
Побудуємо графік, застосовуючи Excel
4) Знайти коефіцієнти зазначеної залежності, застосовує Excel (команда «Пошук рішення»).
Начальні значення коефіцієнтів
|
а= |
1 |
|
в= |
1 |
Отримані значення
|
а= |
-0,25275 |
|
||||
|
в= |
1,0175 |
|
||||
|
Microsoft Excel 10.0 Отчет по результатам |
||||||
|
Рабочий лист: [метод наим.квад.xls]Лист1 |
||||||
|
Отчет создан: 18.09.2009 14:16:15 |
|
|||||
|
Целевая ячейка (Минимум) |
|
|
||||
|
|
Ячейка |
Имя |
Исходное значение |
Результат |
||
|
|
$H$193 |
cymma: Отклонения |
361,8117 |
0,012305 |
||
|
Изменяемые ячейки |
|
|
|
|||
|
|
Ячейка |
Имя |
Исходное значение |
Результат |
||
|
|
$M$192 |
a= Утаб |
1 |
-0,25275 |
||
|
|
$M$193 |
b= Утаб |
1 |
1,0175 |
||